「制限」分布と「定常」分布の違いは何ですか？

私はマルコフ連鎖について質問をしていますが、最後の2つの部分はこれを言っています：

このマルコフ連鎖は制限された分布を持っていますか？答えが「はい」の場合は、限定的な分布を見つけます。答えが「いいえ」の場合、その理由を説明してください。

このマルコフ連鎖は定常分布を持っていますか？答えが「はい」の場合、定常分布を見つけます。答えが「いいえ」の場合、その理由を説明してください。

違いはなんですか？以前、を使用して制限分布を計算したときに $P = CA^n C^{-1}$ 、これが $n$ 番目のステップ遷移行列であると考えました。彼らはを使用して限界分布を計算しました。これは定常分布だと思いました。 $\Pi = \Pi P$

どっちがどっち？

markov-process

— カイシュ
ソース

あなたの教科書は普遍的ではない区別をしているかもしれません：例えば、分布を制限することに関するカール・シグマンのノートは、「制限」および「定常」分布を同義であると定義します（p。5の下部の定義2.3）。したがって、違いを判断するには、教科書の定義を参照する必要があります。

— whuber

@whuberを解くようなことを言っていますが、これは存在しません。次に、「制限分布が存在しなくても定常が存在します。

定常分布とします...」と言いますが、私は前に質問の限界分布を計算することを保証し、彼らはこのように解決しました。それはあなたにとって理にかなっていますか？

lim_{n \to \infty} P_{i i}^{(n)}

$\lim_{n \rightarrow \infty} P_{ii}^{(n)}$

Π = (π_{0}, π_{1}, . . ., π_{n})

$\Pi = (\pi_0, \pi_1, ... ,\pi_n)$

— カイシュ

@whuber実際、以前の制限分布の質問では、等式をていないので、私はかなり混乱しています。

π_{0} + π_{1} + π_{2} = 1

$\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1$

— カイシュ

定常分布は、時間とともに安定している分布です。私が知る限り、マルコフ連鎖の制限分布は定常的であり、マルコフ連鎖が定常分布を持っている場合、それも制限分布です。

— シャドウトーカー14

Andreasの回答はquora.com/に

— Siddharth Shakya

回答:

以下からの確率モデルへの入門 Pinskyとカーリン（2011）によります。

存在する場合、制限分布は常に定常分布ですが、逆は当てはまりません。定常分布が存在する可能性がありますが、制限分布はありません。たとえば、遷移確率行列がである周期的マルコフ連鎖には制限分布はありませんただし、は定常分布です。なぜなら、（p。205）。
$P = ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖$ $\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$ $\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖ = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

前のセクションで、彼らは「制限確率分布」すでに定義していました。 $\pi$

$lim_{n \to \infty} P_{i j}^{(n)} = π_{j} f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$

そして同等に

$lim_{n \to \infty} \Pr {X_{n} = j | X_{0} = i} = π_{j} > 0 f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$ （p。 165）。

上記の例は確定的に振動するため、シーケンスが制限を持たないのと同じ方法で制限を持たないことになります。 $\{1,0,1,0,1,\dots\}$

彼らは、通常のマルコフ連鎖（すべてのnステップ遷移確率が正である）には常に制限分布があり、それが一意の非負の解でなければならないことを証明しています

$π_{j} = \sum_{k = 0}^{N} π_{k} P_{k j}, j = 0, 1, \dots, N, \sum_{k = 0}^{N} π_{k} = 1$ $\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$ （）

次に、例と同じページに、彼らは書きます

（4.27）を満たすセットは、マルコフ連鎖の定常確率分布と呼ばれます。「定常」という用語は、定常分布に従って開始されたマルコフ連鎖がすべての時点でこの分布に従うという特性に由来します。正式には、場合、すべてのとなります。 $(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$ $\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$ $\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$ $n=1,2,\dots$

ここで、（4.27）は方程式のセットです

$π_{i} \geq 0, \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} = 1, a n d π_{j} = \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} P_{i j} .$ $\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$

これは、無限の状態数を除いて、上記とまったく同じ定常状態です。

この定常性の定義により、168ページの記述は次のように遡及的に言い換えることができます。

通常のマルコフ連鎖の制限分布は定常分布です。
マルコフ連鎖の制限分布が定常分布である場合、定常分布は一意です。

— シャドウトーカー
ソース

定常性の「遷移確率は時間とともに変化しない」という意味を明確にできますか？制限分布と定常分布の両方は、状態に関する確率に関するものです。

— ジュホコッカラ14

うん、あなたはあなた自身の答えを書いたと思うが、私はより正確になるように私のものを再編成した。

— シャドウトーカー14

まだわかりません。「無限の状態を持つ現在を除いて...」と言うとき、あなたはどういう意味ですか？もっと明確に説明してください。

— ロニ

@roni

N = \infty

$N=\infty$

— shadowtalker

最初の強調表示されたブロックでは、はこの例の定常分布ですが、が振動するため制限分布はなく、したがって定常状態はありません。これは、定常分布のみが計算される場合、定常状態の存在を保証しないことを意味しますか？

π = (1 / 2, 1 / 2)

$\pi=(1/2,1/2)$

P^{n}

$P^{n}$

— 国陽Q

定常分布は、そのような分布であるステップにおける状態にわたる分布場合にあるその後もステップにおける状態にわたる分布、ある。すなわち、 A極限分布ような分布である、初期分布が、ある状態への収束上分布もの関係なくの数としてステップは無限になります：は依存し $\pi$ $k$ $\pi$ $k+1$ $\pi$

π = π P .

$\begin{equation} \pi = \pi P. \end{equation}$

π

$\pi$

π

$\pi$

lim_{k \to \infty} π^{(0)} P^{k} = π,

$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty} \pi^{(0)} P^k = \pi, \end{equation}$

π^{(0)}

$\pi^{(0)}$ 。たとえば、2つの状態がコインの側面であるマルコフ連鎖、考えてみましょう。各ステップでは、コインを上下逆さまにします（確率1）。状態分布を計算するとき、それらは前のステップを条件としていないことに注意してください。つまり、確率を計算する人はコインを見ません。したがって、遷移行列は最初にコインをランダムに反転して初期化する場合（）、その後のすべての時間ステップもこの分布に従います。（公正なコインを裏返して、裏返しにした場合、ヘッドの確率はまだ）。したがって、

{h e a d s, t a i l s}

$\{heads, tails\}$

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$

π^{(0)} = (\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\pi^{(0)} = \begin{pmatrix}0.5 & 0.5\end{pmatrix}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$ は、このマルコフ連鎖の定常分布です。

ただし、このチェーンには制限的な分布はありません。確率頭になるようにコインを初期化するとします。その後、すべての後続の状態は初期状態によって決定されるため、偶数ステップ後、状態は確率先頭になり、奇数ステップ後、状態は確率先頭になります。これは、いくつのステップが実行されても保持されます。したがって、状態の分布に制限はありません。 $2/3$ $2/3$ $1/3$

次に、各ステップで必ずしもコインを回す必要がないようにプロセスを変更しましょう。代わりに、サイコロを投げ、結果が場合、コインはそのまま残されます。このマルコフ連鎖には、遷移行列数学を調べることなく、このプロセスはランダムにターンを省略するために初期状態を「忘れる」ことを指摘します。膨大なステップを経て、コインの初期化方法がわかっていても、頭の確率はに近くなります。したがって、このチェーンには制限分布ます。 $6$

P = (\begin{matrix} 1 / 6 & 5 / 6 \\ 5 / 6 & 1 / 6 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1/6 & 5/6 \\ 5/6 & 1/6 \end{pmatrix}. \end{equation}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

— ジュホコッカラ
ソース

初期状態を忘れることについての良い点は、私の答えでこれを完全に説明しました。

— シャドウトーカー14

この説明は、私が多くを理解するのに役立ちます。定常状態の存在は、制限分布の存在と同等であると言えますか？限界分布を計算するのは簡単ではないため、代わりに平衡方程式を解くことで定常分布を計算することがよくあります。ただし、この代替方法は定常分布が初期状態から独立していることを保証しないと考えたため、場合、定常分布を持っているが、初期状態から独立した定常状態はありません。

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$P = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

— 国陽Q

@GuoyangQin新しい質問がある場合は、質問として投稿することをお勧めします（質問の提供に役立つ場合は、この質問にリンクします）。私は、この文脈で「定常状態」と思っているだろうが、それは明らかに問題の用語を定義するのがベストですので、「定常分布」を意味します

— たJuho Kokkala

表記法はさておき、「静止」という言葉は「一度そこに着いたら、そこにとどまる」という意味です。「制限する」という言葉は「十分に行けば最終的にそこに着く」ことを意味します。これが役立つかもしれないと思った。

— 青空
ソース

これが質問にどのように適用されるかは明確ではありません。説明してもらえますか？

— whuber

@whuber様、制限分布は必然的に定常分布であり、定常分布は必ずしも制限分布ではないということです。したがって、違いがあります。これは基本的に他の回答と同じですが、覚えやすいと思います。

— BlueSky

明確化していただきありがとうございます：それはあなたが達成しようとしていることを示しています。しかし、数学的な定義と一致する方法で「静止」の説明を解釈する合理的な方法を見つけることはできません。

— whuber

@whuber BlueSkyのフレージングは、私にとって「固定小数点」の非常に単純明快な英語の概念のように思えます。

— リチャードラスト