ベイジアンバッティング平均事前

私は、ベータ配布の直感に関する質問に対する優れた答えに触発された質問をしたかった。バッティングアベレージの事前分布の導出をより良く理解したかったのです。デビッドは平均値と範囲からパラメータをバックアウトしているようです。

平均であるという仮定の下では $0.27$ と標準偏差は $0.18$ あなたがバックアウトすることができ、 $\alpha$ および $\beta$ これら二つの方程式を解くことによって：

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— ディミトリイ・V・マスタロフ
ソース

正直に言って、Rが正しく見えるまで値をグラフ化し続けました。

— デビッドロビンソン

標準偏差はどこで.18になりますか？

— appleLover

この標準偏差をどのようにして思いついたのですか？事前に知っていましたか？

— マリアラブロフスカヤ

回答:

次のことに注意してください。

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

これは、分散が平均として次のように表現できることを意味します。

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

あなたは、平均したい場合は $.27$ と標準偏差 $.18$ （分散 $.0324$ ）、ちょうど計算します。

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

合計がわかったので、 $\alpha$ と $\beta$ は簡単です。

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Rでこの答えを確認できます。

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— デビッド・ロビンソン
ソース

デビッド、野球の研究をたまたまフォローしていますか？適切な

と

を見つけるための競合するテクニックがいくつかありますので、合理的に見えるグラフを見つけようとする以外に何かをしているのであれば、あなたは問題について意見がありますか？

α

$\alpha$

β

$\beta$

— マイケルマクゴー

私は特にサーベルメトリクスに従うことはしません。他の回答では、たまたま事前分布を持つ二項式からpを推定する非常に便利な例を提供しました。サーベルメトリクスでこれがどのように行われるかさえわかりません。もしそうなら、多くのコンポーネントが残っていることを知っています（プレイヤーは異なる優先順位、スタジアムの調整、古いヒットに対する最近のヒットの重み付け...）

— デビッドロビンソン

あなたの眼球運動がこれほど正確だったことに感銘を受けました。

— Dimitriy V. Masterov

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

@Alex要求された分散と標準偏差は、ベータ配布ポストではなく、.18のSDを要求した上記の質問からのものです。私は59と160の値が与えられていた0.03のようなもののSD、推測している可能性がeyeballingのではなく、計算された場合

— デビッド・ロビンソン

これを優れた回答のコメントとして追加したかったのですが、実行に時間がかかり、回答の書式設定の方が見やすくなります。

心に留めておくべきことは、すべてではないということです $(\mu, \sigma^2)$ 可能です。それは明らかだ $\mu \in [0,1]$ 、しかし、それほど明確ではない $\sigma^2$ 。

デビッドと同じ推論を使用して、表現することができます

σ^{2} （ α 、 μ ） = \frac{μ^{2} （ 1 - μ ）}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

これは減少しています $\alpha$ 、だから最大 $\sigma^2$ 特定の $\mu$ は：

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

This is only a supremum since the set of valid $\alpha$ is open (i.e., for Beta, we must have $\alpha > 0$ ); this limit is itself maximized at $\mu = \frac12$ .

Notice the relationship to a corresponding Bernoulli RV. The Beta distribution with mean $\mu$ , since it is forced to take all values between 0 and 1, must be less dispersed (i.e., have lower variance) than the Bernoulli RV with the same mean (which has all of its mass at the ends of the interval). In fact, sending $\alpha$ to 0 and fixing $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$ は、PDFの質量を0と1に近づけること、つまりベルヌーイ分布に近づくことを意味します。これが、分散の上限がまさに対応するベルヌーイ分散である理由です。

まとめると、ベータの有効な平均と分散のセットは次のとおりです。

（実際、これはベータ版のウィキペディアのページに記載されています）

— マイケルキリコ
ソース