アメーバインタビュー質問

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この質問は、独自の取引会社との取引ポジションのインタビューで尋ねられました。この質問に対する答えとその背後にある直感を知りたいです。

アメーバ質問：アメーバの人口は1から始まります。1期間後、アメーバは1、2、3、または0（死ぬ可能性がある）に等しい確率で分割できます。人口全体が最終的に死亡する確率はどのくらいですか？

probability

— AME
ソース

これらのそれぞれを確率で行うと仮定しますか？

1 / 4

$1/4$

— みすぼらしいシェフ

16

生物学的な観点から見ると、そのチャンスは1です。環境は、10億年後に太陽が爆発することを考えると、生き残ることができないポイントに変化するはずです。しかし、それは彼が探していた答えではなかったと思います。;-)質問も意味がありません。アメーバは2または0にしか分割できません。道徳：トレーダーは生物学について質問するべきではありません。

— ジョリスメイズ

7

そのような位置のためのインタビューのそのような質問か。たぶん、dilbert.com / strips / comic / 2003-11-27のようなものでしょうか？

1

マイクが言及しているように、これはかわいい質問です。ここでの直感は、最終的な生存/絶滅の確率は2世代間で同じであるということです。より創造的なバージョンは、生存確率自体が存在するアメーバの数の関数として変化するときに考えることができます。サイトのブログに追加しました。

— ブロッコリー

1

1）アメーバはバイナリーの有糸分裂によって繁殖します。2）アメーバは、異常な有糸分裂像、たとえば3回目では繁殖しません。4）インタビュー中に確認バイアスを引き出す質問をすることは、一般に質の低いとみなされます。助言; あなたはその仕事を望まないかもしれません。

— カール

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かわいい問題。これは、確率論者が楽しみのために頭の中で行う種類のものです。

テクニックは、そのような絶滅の可能性があると仮定することで、それをと呼びます。次に、可能性のある結果について1階層の決定木を見て（合計確率の法則を使用して） $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

2つまたは3つの「子孫」の場合、それらの絶滅確率はIIDであると仮定します。この方程式には、と 2つの実行可能な根があります。私より賢い人が、なぜが妥当ではないのかを説明できるかもしれません。 $1$ $\sqrt{2}-1$ $1$

仕事は厳しくなっていなければなりません-あなたの頭の中で三次方程式を解くことをどのようなインタビュアーが期待していますか？

— マイク・アンダーソン
ソース

3

1がルートではない理由は、ステップ後のアメーバの予想数を考慮することで簡単にます。これをと呼びます。あることを簡単に示すことができます。それぞれの結果の確率があるので我々は持っている、そしてので成長せずに拘束。これは明らかにギブアップしません。

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— みすぼらしいシェフ

9

@shabbychefそれは私にはそれほど明白ではありません。期待は指数関数的に（またはさらに速く）成長する一方で、消滅する確率はまだ1に近づきます。（たとえば、人口が各世代で4倍になるか、それぞれ等しい確率で完全に死ぬ確率的プロセスを考えます。世代nでの期待値は2 ^ nですが、絶滅の確率は1です。）矛盾; あなたの議論にはさらに何かが必要です。

— whuber

1

@shabbychef-編集してくれてありがとう。組み込みTeXを数学に使用できるとは思いませんでした！@whuber-shabbychefの声明は、絶滅確率に関する声明の単なるバリエーションであり、確率を掛けるのではなく、期待を追加するだけです。すてきな仕事です

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— マイクアンダーソン

1

マイク、それは明らかですが、あなたのポイントは何ですか？解決策として1を除外する方法について話していませんか？ところで、1が解決策になることは明らかです（検査や問題を理解することによって）。これにより、その場で簡単に解くことができる二次方程式になります。ただし、通常はインタビューの質問のポイントではありません。質問者は、おそらく、申請者が確率過程、ブラウン運動、伊藤計算などについて積極的に知っていること、およびこの特定の質問を解決できるかどうかではなく、問題を解決する方法を探っています。

— whuber

3

@shabbychef：P = 1を除外する1つの方法は、確率生成関数の進化を調べることです。pgfは、t（1の初期母集団を表す）から開始し、tを（1 + t + t ^ 2 + t ^ 3）/ 4で繰り返し置換することによって取得されます。tの開始値が1より小さい場合、グラフィックは反復がSqrt（2）-1に収束することを簡単に示します。特に、pgfは1から離れており、どこでも1に収束できないことを示しており、完全な絶滅を表します。これが「1がもっともらしい」理由です。

— whuber

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エンベロープの計算の一部（文字通り-私は机の上にエンベロープを置いていました）は、3の人口に到達しない確率が42/111（38％）であることを示しています。

私は簡単なPythonシミュレーションを実行し、20世代で死亡した人口の数を確認し（この時点で通常は死亡するか、数千人になります）、10000回の実行で4164人が死亡しました。

したがって、答えは42％です。

— エミール
ソース

9

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$ は0.4142であるため、Mikeの分析結果と一致しています。そして+1、私はシミュレーションが好きだからです

2

また、シミュレーションが好きだから+1。それは私の答えだっただろう;）。

— フォマイト

7

これは、元々姓の生存を研究するために策定された、Galton Watsonプロセスに関連した音です。確率は、単一の分割後のサブアメーバの予想数に依存します。この場合、その予想数はありこれは臨界値よりも大きいため、絶滅の確率は未満です。 $3/2,$ $1$ $1$

後アメーバの期待数考慮して 1つの分割後の予想される数未満である場合に分裂を、一方は容易ことを示すことができる、絶滅の確率である。問題の残りの半分、私はあまり確信がありません。 $k$ $1$ $1$

— みすぼらしい
ソース

6

同様にマイク・アンダーソンからの答えはあなたを言うあなたは絶滅するチャイルズの系譜の確率の和に絶滅するアメーバの系譜のための確率を同一視することができます。

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

次に、系統が絶滅する親と子の確率を等しく設定すると、方程式が得られます。

p = \frac{1}{4} p^{3} + \frac{1}{4} p^{2} + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

根は、、およびです。 $p=1$ $p=\sqrt{2}-1$ $p=-\sqrt{2}-1$

残っている疑問は、答えがではなくである理由です。これは、たとえば、この重複したアメーバインタビューの質問で尋ねられます：P（N = 0）1または1/2ですか？。でshabbychefからの答え、1つが、見ることができると説明している、後の人口の大きさの期待値番目のディビジョンを、それがいずれかの縮小または拡大しているかどうかを確認します。 $p=\sqrt{2}-1$ $p=1$ $E_k$ $k$

私には、その背後にある議論に間接性があり、完全には証明されていないように感じます。

たとえば、Whuberのコメントの1つで、期待値大きくなり、番目のステップアプローチ1 で絶滅する可能性があることを指摘しています。例として、アメーバ人口全体を一掃する壊滅的なイベントを導入できますまた、各ステップで確率で発生します。その後、アメーバの血統は死ぬことはほぼ確実です。それでも、ステップでの人口規模への期待は高まっています。 $E_k$ $k$ $x$ $k$
さらに、答えの葉は、私たちが状況を考えているか開いたとき（アメーバ分割またはが、同じ50％の確率で分割されていない場合には、アメーバの系譜は、確率がほとんどで消滅例えば本家） $E_k = 1$ $1$ $E_k= 1$

代替派生。

解は空虚な真実である可能性があることに注意してください。親の血統が絶滅する確率は、子の血統が絶滅する確率と同等です。 $p=1$

場合は「絶滅しになるために子供の系譜のための確率は等しく」。次に、「親の血統が絶滅する確率は等しい」。 $1$
$1$

しかし、これは「子供の血統が絶滅する確率が」であることを意味するわけではありません。これは、子孫の数が常にゼロでない場合に特に明確です。例えば、方程式を想像してください： $1$

p = \frac{1}{3} p^{3} + \frac{1}{3} p^{2} + \frac{1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

少し違った方法で解決策を見つけることができますか？

、番目のの前に系統が消滅する確率と呼びましょう。それから私達にあります： $p_k$ $k$

p_{1} = \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

と再帰関係

p_{k + 1} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} + \frac{1}{4} p_{k} + p_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

または

δ_{k} = p_{k + 1} - p_{k} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} - \frac{3}{4} p_{k} + p_{1} = f (p_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

だから、どこ前確率が絶滅し得るために番目のディビジョンが増加に伴って増加します。 $f(p_k)>1$ $k$ $k$

ルートへの収束と期待値との関係

ステップは、ルートまでの距離よりも小さい場合その後のこの増加ように点を超えないであろう成長する場合。 $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

の勾配/導関数が以上の場合、これが（ルートを超えない）常にケースであることを確認できます。また、これは常にケースです等多項式と。 $f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

導関数は、および場合、と間に最小値がなければならないことがわかります（関連すると間に根がなければならないため、特定の絶滅）。逆に場合、と間に根がないため、特定の消滅が発生します（ときに発生する場合を除く）。

f^{'} (p) = - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} k p^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

— セクストゥス・エンピリカス
ソース