変換されたランダム変数の共分散

$X > 0$ および 2つのランダム変数があります。 $Y > 0$

を見積もることができるとすれば、どのように見積もることができ

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
ソース

この過去の問題ではなく、共分散の相関関係について尋ね、それが関連している：stats.stackexchange.com/questions/35941/...

— ダグラスZare

テイラー展開のアプローチを取ることができます。

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

編集：

取る、。 $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

多変量テイラー展開を使用して、近似を計算しのより単純なケースを行うリンクの「最初の瞬間」の最後の例と同様の方法で、および（同じセクションの最初の部分で与えられている）の近似値を同様の精度で計算するための単変量展開。これらのことから、（近似）共分散を計算します。 $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

リンクの例と同様の近似度に展開すると、各（変換されていない）変数の平均と分散、およびそれらの共分散の項になると思います。

編集2：

しかし、ここで少し手間を省くかもしれない小さなトリックがあります：

およびおよびことに注意してください。 $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

与えられた我々持っている

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

編集：最後のステップは、テイラー近似から続くこと小さいために良好であり、（撮影 $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ ）。 $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

（近似のために正確であることを、正常： $U$ $V$ ） $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

レッツ $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

そして、与えられた、 $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

（編集:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

$\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

2番目ではなく最初の近似を使用した場合、ここで異なる近似が得られます。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

もう少し詳しく教えてください。とにかく、提案のためのthx

— user7064

詳細を編集しました。

— Glen_b-モニカの復活2013

ありがとう@Glend_b。詳細が追加される場合は同意します。その間、+ 1 :

— user7064

心配ない; 当時忙しかったので、すっかり忘れていました。今固定

— Glen_b -Reinstateモニカ

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

追加の仮定なし $X$ そして $Y$ 、初期共分散を知っているログの共分散を推定することはできません。一方、計算できた場合 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ から $X$ そして $Y$ 、計算を妨げるもの $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ から $\log(X)$ そして $\log(Y)$ 直接？

— ザポーン
ソース