発生率の推定

医学生向けの統計コースを受講しているときに、発生率に関連する問題に遭遇しました。問題の背景は、ポアソン分布に関する章です。この問題では、2300人の喫煙者が1年間にわたってフォローされ、そのうち24人が肺癌を発症しています。次に、プロセスの発生率を計算し、次のように進めます。

彼らは減算なぜ最初は、私は理解していなかった$24/2$、私はそれらの24人が今年中に癌を発症することから、リスクの自分の時間を開発していないものに比べて短くなっているという事実のためにいくつか修正したと仮定しました病気。少なくとも問題ではなく、教科書自体にそれ以上の情報は与えられていません。簡単な検索で、正しい方向に沿って考えていることが確認されました。

しかし、私はまだ公式の根拠を理解していません。誰かが私を啓発できますか？また、医学生にアクセス可能ないくつかの参照が与えられる可能性がある場合。さらに技術的なリファレンスがあってもかまいません。

ポアソン過程として癌の発生をモデル化することを提案します。観察期間中、同じ個人内で複数のイベント（腫瘍の出現）が発生する可能性があります。場合年によって腫瘍の出現率で、0事象の確率はE - λ、および1つのイベント以上の確率は、P = 1 - E - λ。$\lambda$$e^{-\lambda}$$p=1-e^{-\lambda}$

1年間に人の個人を追跡します。1つのイベント以上を有する個体の数は、X 〜B I N（N 、P ）。予想される数はE （X ）= n p = n （1 - e - λ）です。$n$$X \sim \mathrm{Bin}(n,p)$$E(X) = np = n(1-e^{-\lambda})$

次に、イベントを観察し、λを推定します。第1の推定値のP = $x$$\lambda$、その後 λ =-ログ（1-$\hat p = {x\over n}$。最尤推定量の不変性により、λのMLEですλ。$\hat \lambda = - \log\left(1 - {x \over n}\right) \approx {x\over n} + {x^2 \over 2 n^2}$$\hat \lambda$$\lambda$

あなたの推定量は。2つの推定量の間の差は、約あり、X3/6N3であれば非常に小さい、X/N小さいです。他のモデリングが推定器に直接つながる可能性があるとしても、これはある程度の正当化を提供すると思います。${ x/n \over 1 - x/2n} \approx {x\over n} + {x^2 \over 2 n^2}$$x^3/6n^3$$x/n$

癌の診断が年間を通じて均一に広がっていると仮定すると、診断された人はその診断の前に（平均して）半年間診断されるリスクにさらされます。

あなたのリンクは、観測期間の中間点での発生の仮定に言及していますが、それがどこから来たのかについては言及していません-これは単なる均一性の仮定です。この仮定は常に合理的であるとは限らず、実質的な違いをもたらすことができる場合があります。計算式を使用するときは常にその仮定に注意することをお勧めします。これは、式の適合性を検討する必要があり、適切でない場合は、推定に実質的な影響を与える可能性があるかどうか（この場合、より適切な仮定）発生について調査する必要があります）