別の指標（MSEなど）ではなく、特定の予測誤差（MADなど）を使用するのはなぜですか？

MAD =平均絶対偏差MSE =平均二乗誤差

いくつかの望ましくない品質にもかかわらずMSEが使用されるというさまざまな場所からの提案を見てきました（例：http: //www.stat.nus.edu.sg/~staxyc/T12.pdf、p8に「MAD MSEよりも優れた基準です。ただし、数学的にMSEはMADよりも便利です。」

それ以上のものはありますか？予測誤差を測定するさまざまな方法が多かれ少なかれ適切である状況を徹底的に分析する論文はありますか？私のグーグル検索では何も明らかにされていません。

これと同様の質問が/programming/13391376/how-to-decide-the-forecasting-method-from-the-me-mad-mse-sdeで尋ねられ、ユーザーはstats.stackexchange.comに投稿しますが、私は彼らがこれまで行ったことはないと思います。

どのポイント予測誤差測定を使用するかを決定するには、一歩後退する必要があります。私たちは将来の結果を完全には知らないし、これまでも知らないことに注意してください。したがって、将来の結果は確率分布に従います。一部の予測方法では、このような完全な分布を明示的に出力しますが、出力しないものもありますが、暗黙的にのみ存在する場合は常に存在します。

ここで、ポイント予測のための適切なエラー測定が必要です。このような点予報$F_t$は、将来の密度のいわゆる汎関数と呼ばれる単一の数値を使用して、時刻$t$での将来の分布（すなわち、予測分布）について知っていることを要約する試みです。エラー測定は、この単一番号の要約の品質を評価する方法です。

そのため、（未知の、予測される可能性があるが、暗黙的である）将来の密度の「良い」1つの数値の概要に報いるエラー指標を選択する必要があります。

課題は、さまざまなエラー測定値がさまざまな機能によって最小化されることです。予想されるMSEは、将来の分布の予想される値によって最小化されます。予想されるMADは、将来の分布の中央値によって最小化されます。したがって、MAEを最小化するために予測を調整すると、ポイント予測は将来の期待値ではなく将来の中央値になり、将来の分布が対称でない場合は予測にバイアスがかかります。

これは、通常歪んでいるカウントデータに最も関連しています。極端な場合（たとえば、ポアソンは、以下の平均で販売を分散では$\log 2\approx 0.69$）、あなたのMAEはフラットなゼロ予測の最安になります。参照してくださいここでまたはここやここにをご覧ください。

私はいくつかのより多くの情報とでイラスト与える平均絶対誤差率（MAPE）の欠点は何を？そのスレッドはmapeを考慮しますが、他のエラー対策も考慮し、他の関連するスレッドへのリンクを含みます。

最終的に、どのエラー測定値を使用するかは、予測コストのコスト、つまり、どの種類のエラーが最も苦痛かによって異なります。予測エラーの実際の意味を見ることなく、「より良い基準」に関する議論は基本的に無意味です。

予測精度の測定値は、数年前の予測コミュニティで大きな話題でしたが、今でも時々登場しています。注目すべき非常に良い記事の1つは、Hyndman＆Koehlerの「予測精度の測定値の別の見方」です（2006年）。

最後に、1つの選択肢は、完全な予測密度を計算し、適切なスコアリングルールを使用してこれらを評価することです。

MSEの代わりにMAEを使用する利点は、DavydenkoおよびFildes（2016）で説明されています。セクション3.1を参照してください。

...一部の著者（たとえば、Zellner、1986）は、予測を評価する基準は、予測を最適化する基準に対応する必要があると主張しています。言い換えると、特定の損失関数を使用して推定値を最適化する場合、より良いモデルを見つけるために、経験的評価に同じ損失関数を使用する必要があります。

統計モデルのフィッティングは、通常、二次損失の下で最適な予測を提供します。これは、たとえば、線形回帰を当てはめるときに発生します。統計モデリングからの密度予測が対称である場合、二次損失の下で最適な予測は線形損失の下でも最適です。ただし、対数変換によって分散を安定化し、指数関数によって予測を逆変換すると、線形損失の下でのみ最適な予測が得られます。別の損失を使用する場合、最初に統計モデルを使用して密度予測を取得し、次に特定の損失関数を指定して推定値を調整する必要があります（Goodwin、2000でこれを行う例を参照）。

2つの方法を経験的に比較し、どちらの方法が対称線形損失の観点で優れているかを調べたいと仮定します（このタイプの損失は一般的にモデリングで使用されるため）。時系列が1つしかない場合は、平均絶対誤差（MAE）を使用するのが自然なようです。また、MAEは、理解と計算が簡単であるため魅力的です（Hyndman、2006）...

参照資料

Davydenko、A.、＆Fildes、R.（2016）。予測エラー測定：批判的レビューと実践的推奨。で実用的な問題と解決策：ビジネス予測。ジョン・ワイリー＆サンズ

比較しない理由$RMSE = \sqrt{MSE}$$MAE = MAD$

実際、

$MAE \leq RMSE \leq \sqrt{n} MAE$ 回帰モデルの場合：

• 下限：各ケースは同じ絶対量のエラーをもたらします $e$：
  $RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum e_i^2} = \sqrt{\frac{1}{n} n e^2} = e = MAE$
• 上限：エラーのある単一のケース $e$ 他のすべてのケースにはエラーがありません：
  $MAE = \frac{e}{n}$
  $RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum e_i^2} = \sqrt{\frac{1}{n} e^2} = \sqrt{\frac{1}{n} (n MAE)^2} = \sqrt{n} MAE$

($MAE \leq RMSE \leq \sqrt{MAE}$ for classification with partial class memberships $y_i$ and/or $\hat y_i$ are $\in [0, 1]$ -- i.e. they can actually take values in between 0 and 1).

• upper bound: here, $e_i$ is $\leq 1$, so
  $MAE = \frac{n_{wrong}}{n}$
  $RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum e_i^2} = \sqrt{\frac{1}{n} n_{wrong}} = \sqrt{MAE}$
  (This upper bound occurs for integer $n_{wrong}$, if you go for partial/fractional class membership and thus also for $e_i \in [0, 1]$, things get a bit more complicated because you need to take into account that the maximum possible error can be less than 1, and you may have a "leftover" $e_i < 1$ which both lower the upper bound a bit further.)

If the RMSE is close the MAE, you have many small deviations, if it is close to its upper bound, there are few grossly wrong predictions.