合計を条件として、負の二項式の分布は何ですか

場合は負の二項をIIDされ、その後の分布ものです与えられたが（x 1、x 2、… 、x n$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$？

$N$は固定です。

場合ポアソンは、その後、合計の条件としている、多項です。混合ポアソンであるため、負の2項に当てはまるかどうかはわかりません。（x 1、x 2、… 、x n$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

あなたが知りたいのであれば、これは宿題の問題ではありません。

遅い答えで申し訳ありませんが、これも私を悩ませて、私は答えを見つけました。分布は確かにディリクレ多項式と個々の否定です。二項分布は、そのFano因子（分散の平均に対する比率）が同一である限り、同一である必要はありません。

長い答え：

NBを次のようにパラメーター化すると、

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

次に、およびおよび$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$暗示する

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

次に、合計が与えられた確率を取ります：

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

ここで、はディリクレ多項式の尤度です。これは、多項係数を除いて、左側の分数の項の多くがキャンセルされ、たまたまDMの尤度と同じであるガンマ関数の項のみが残るという事実から生じます。$DM$

また、このモデルのパラメーターは識別できません。増加と同時にすべての減少が起こると、正確に同じ尤度が得られるためです。$\theta$$\lambda_i$

私はこのために持っている最高の参照が3.1にセクション2であるギマランイス＆Lindrooth（2007）：制御するための過分散にグループ化の条件付きロジットモデル：ディリクレ-多項回帰のA計算が簡単なアプリケーションでは、 -それは、残念ながらpaywalledされますが、私はすることができませんでしたペイウォールされていない参照を見つけます。