バイアスされたサンプリングによる指数分布のパラメーター推定

偏った条件下でこの分布から抽出されたサンプル母集団から、指数分布のパラメーターを計算したいと思います。私の知る限り、n個の値のサンプルの場合、通常の推定量はです。しかし、私のサンプルは次のように偏っています：E - λ X λ = $\lambda$$e^{-\lambda x}$$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum x_i}$

指数分布からiidで描かれたm個の要素の完全な母集団から、n個の最小の要素だけが知られています。このシナリオでパラメータをどのように推定できますか？$\lambda$

もう少し厳密に言うと、がから抽出されたiidサンプルである場合、すべてのに対してあり、私は推定することができる方法をセットから。E - λ X I < J X I ≤ X jの λ { X 1、X 2、X 3、。。。、x n } n < $\{x_1,x_2,x_3,...,x_m \}$$e^{-\lambda x}$$i < j$$x_i \leq x_j$$\lambda$$\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$$n < m$

どうもありがとう！

マイケル

タイプII打ち切りの下での指数分布のパラメーターの最尤推定量は、次のように導出できます。サンプルサイズはであると想定します。このうち最小のが観測され、最大のは観測されていません（存在することがわかっています）。n < m m − $m$$n < m$$m - n$

（表記を簡単にするために）観測されたが順序付けされていると仮定します：。次に、の結合確率密度は次のとおりです。 0 ≤ X 1 ≤ X 2 ≤ ⋯ ≤ X N 、X 1、... 、Xが$x_i$$0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$$x_1, \dots, x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right\}\exp\left\{-\lambda(m-n)x_n\right\}$

ここで、最初の指数は観測された確率に関連し、2番目はよりも大きい観測されていない確率に関連します（これは1-のCDF です）。x i m − n x i x n x $n$$x_i$$m-n$$x_i$$x_n$$x_n$

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]\right\}$

（の係数には「」があるため、合計はなります。）ログを取り、次にwrtなどの導関数を使用すると、最尤推定量が得られます。$n-1$$+1$$x_n$$\lambda$

$\hat{\lambda} = n / \left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]$

これは、@ jbowmanの回答を私のコメントにリンクします。つまり、一般的な作業の仮定の下で、タイプIIの打ち切りの下で「標準生存可能性」を使用できます。

> #------seed------
> set.seed(1907)
> #----------------
> 
> #------some data------
> t <- sort(rexp(n=20, rate=2))        #true sample
> t[16:20] <- t[15]                    #observed sample
> delta <- c(rep(1, 15), rep(0, 5))    #censoring indicator
> data <- data.frame(t, delta)         #observed data
> #---------------------
> 
> #-----using @jbowman's formula------
> 15 / (sum(t[1:14]) + (5 + 1)*t[15])
[1] 2.131323
> #-----------------------------------
> 
> #------using the usual survival likelihood------
> library(survival)
> fit <- survreg(Surv(t, delta)~1, dist="exponential", data=data)
> exp(-fit$coef)
(Intercept) 
   2.131323 
> #-----------------------------------------------

PS1：これは指数分布に限定されないことに注意してください。

PS2：詳細は、Lawlessによる本のセクション2.2に記載されています。

が既知であると仮定すると、推定値は$n$

X K 0 < K < Mの$\Phi(x_k)=1-e^{-\lambda x_k} \approx (k/n)$ ここで、、は、削減されたデータセットの番目に小さい値を指します。$x_k$$0<k<m$$k$

ロジックは次のとおりですサンプルのセット全体がある場合、このサンプルから経験的CDF、構築できます。次に、このソートされた配列の項目を取得すると、CDF値対応します。多くの場合、が有効な選択肢です。Φ K K / N K = N /$n$$\Phi$$k$$k/n$$k=n/2$