の数字は統計的にランダムですか？

シーケンスを観察するとします：

7、9、0、5、5、5、4、8、0、6、9、5、3、8、7、8、5、4、0、0、6、6、4、5、3、 3、7、5、9、8、1、8、6、2、8、4、6、4、1、9、9、0、5、2、2、0、4、5、2、8。 ..

これが本当にランダムかどうかを判断するために、どの統計的検定を適用しますか？参考までに、これらは番目の数字です。したがって、数字は統計的にランダムですか？これは定数について何か言っていますか？$n$$\pi$$\pi$$\pi$

$\pi$

最初の質問に答えてください：「この[シーケンス]が本当にランダムかどうかを判断するために、どのテストを適用しますか？」

それを時系列として扱い、自己相関をチェックするのはどうですか？ここにいくつかのRコードがあります。最初にいくつかのテストデータ（最初の1000桁）：

digits_string="1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989"
digits=as.numeric(unlist(strsplit(digits_string,"")))

各桁のカウントを確認します。

> table(digits)
digits
  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9 
 93 116 103 102  93  97  94  95 101 106 

次に、時系列に変換し、Box-Pierceテストを実行します。

d=as.ts( digits )
Box.test(d)

私に言う：

X-squared = 1.2449, df = 1, p-value = 0.2645

通常、自己相関があることを示すために、p値を0.05未満にする必要があります。

実行acf(d)して、自己相関を確認します。最大のラグが11と22にあるのは不思議ですが、ここでは画像が鈍いため、ここには画像を含めていませんacf(d,lag.max=40)。

PS実際の乱数で同じテストを行うことにより、これらの1000桁のpiの性能を比較できました。

probs=sapply(1:100,function(n){
    digits=floor(runif(1000)*10)
    bt=Box.test(ts(digits))
    bt$p.value
    })

これにより、1000個のランダムな数字が生成され、テストが行​​われ、これが100回繰り返されます。

> summary(probs)
    Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
0.006725 0.226800 0.469300 0.467100 0.709900 0.969900 
> sd(probs)
[1] 0.2904346

したがって、結果は最初の標準偏差内で快適であり、パイはカモのように鳴ります。（set.seed(1)これらの正確な数値を再現したい場合に使用しました。）

奇妙な質問です。数字はランダムではありません。

$\pi$

$0.1212121212\ldots$

$\pi$$\pi$$\pi$$2^{2^{2^2}}+1$$\pi$$\pi$