与えられる

$n$ 番目のキュムラントがで与えられる分布に関する情報はありますか $\frac 1 n$ ？キュムラント生成機能は、フォームである

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x 。

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$ 私はいくつかのランダム変数の制限分布としてそれを見つけましたが、それに関する情報を見つけることができませんでした。

distributions mgf cumulants

— 男
ソース

あなたが与えたこの関数

が主張された特性を持っていることはわかりません！作業の修正が必要です。

でゼロに近い被積分関数の指数nを近似すると、ゼロに近い被積分関数は

になるため、発散します。そのため、積分はキュムラント生成関数を表すことができません。

κ (t)

$\kappa(t)$

1 + t x

$1+tx$

t / x

$t/x$

— kjetil bハルヴォルセン

@kjetilbhalvorsen私が従うかどうかわかりません。近似

と

与え

e^{t x}

$e^{tx}$

1 + t x

$1 + tx$

被積分関数の

。また、によれば、この私が与えた関数は双曲線余弦および正弦積分の点で既知の積分を有しています。ことを示すために、

主張性質を持っているだけで周りのフルテイラー級数を行う

用

とのためのテイラー級数取得するために合計にを通じて積分を押す

の周りに

。

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

e^{t x}

$e^{tx}$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

— 男

sympyは、積分が発散的であると言います（独自のエキセントリックな方法で！）。しかし、sympyは間違っているに違いありません。私は今それを見て、数値積分を実験しましたが、うまく機能しています。再試行します。

— kjetil bハルヴォルセン

ウォルフラムアルファの結果を見ると、正しいことはできません。tがゼロに近づくと非ゼロの制限があり、

明確になります。

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$

— kjetil bハルヴォルセン

絶対に連続していると思います。これは、複合ポアソン確率変数の制限として実現されます。

率を有する化合物のポアソン

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

およびジャンプ分布密度

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

、この分布に弱く収束します。

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— 男

キュムラントの値を知ることで、この確率分布のグラフがどのように見えるかを知ることができます。分布の平均と分散は

E [Y] = κ_{1} = 1 、 ヴァール [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

その歪度と過剰尖度係数は

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{（ κ_{2} ）^{3 / 2}} = \frac{（ 1 / 3 ）}{（ 1 / 2 ）^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{（ κ_{2} ）^{2}} = \frac{（ 1 / 4 ）}{（ 1 / 2 ）^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

したがって、これは正の歪度を示す正のランダム変数の見慣れたグラフになります。確率分布を求めるように、職人のアプローチは、一般的な離散確率分布を指定の値を取るすることができ対応する確率と、 $\{0,1,...,m\}$ 次に、未知数である確率を持つ線形方程式系を形成する目的で、キュムラントを使用して生のモーメントを計算します。キュムラントはによって生モーメントに関連する $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$ 、これが与える最初の5つの生の瞬間について解く（終了時の数値は、我々の場合にキュムラントに特異的である）

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{私 = 1}^{n - 1} （ \binom{n - 1}{私 - 1} ） κ_{私} μ_{n - 私}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

私達（瞬間）設定した場合

、私たちは方程式のシステムを有しています

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$

m = 5

$m=5$

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1 、 \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2 、 \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3 、 \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s 。 t 。 p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

$m$ $5$ $m$

— アレコスパパドプロス
ソース

(0, a)

$(0, a)$

(a, \infty)

$(a, \infty)$

a

$a$

a \approx 1

$a \approx 1$

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$

1.4

$1.4$

0.64

$0.64$

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$

それで、pdfはどのように見えますか？モーメントによるフィッティングに関しては、使用するモーメントの数（4、5、6、7または8など）が増加するにつれて、フィットは「ロバスト」および「安定」ですか、それともあちこちにありますか？

— オオカミ