多変量正規分布と分類の一般化

期待値および共分散行列と単調減少関数密度が、ここではマハラノビス距離です。もちろん、多変量法線はによって回復されます。 $\vec \mu$ $\Sigma$ $g(d)$

p (\vec{x}) \propto g (Δ (\vec{x}, \vec{μ}))

$p(\vec x) \propto g \left ( \Delta(\vec x, \vec \mu) \right )$

Δ (\vec{a}, \vec{b}) = \sqrt{(\vec{a} - \vec{b})^{T} Σ^{- 1} (\vec{a} - \vec{b})}

$\Delta(\vec a, \vec b) = \sqrt { (\vec a - \vec b)^T \Sigma^{-1} (\vec a - \vec b) }$

g (d) = \exp (- \frac{1}{2} d^{2})

$g(d) = \exp (- \frac12 d^2 )$

私の最初の質問は次のとおりです。このディストリビューションファミリーの名前は何ですか？

与えられたデータポイントを2つ以上のクラスの1つに分類する場合、それぞれが異なるが同一のと密度によって記述される場合、最適な分類境界は区分的に線形であることを示すのは簡単です。（超平面）。 $\mu$ $\Sigma$ $g(d)$

私の2番目の質問は次のとおりです。これは標準的な結果ですか？はいの場合、それに対する標準的な文献（教科書）参照は何ですか？

— A.ドンダ
ソース

私の知る限りでは、説明に関連する分布には2つのファミリーがあります。1.楕円分布と2.球形分布。

こんにちは@Procrastinatorです。自分の投稿を誰かが編集するのは変だと思いますが、私はあなたの意見を理解します。–あなたのコメントについては、楕円分布がまさに私の意味するところだと思います。球分布は特殊なケースです。だからあなたが書いたのはコメントではなく答えだと思います。どうもありがとう！–新たに見つかった用語を使用しても、分類での使用を検索しても何も見つからなかったため、2番目の質問は未解決のままです。

— A.ドンダ

最初の質問への答えは、コメントで先延ばしによって与えられました：家族は楕円分布と呼ばれます。標準の教科書参照は

Fang、K.、Kotz、S.、Ng、KW、1990。対称多変量および関連する分布。チャップマンとホール。

2番目の質問については、分類に関するほとんどの文献では、多変量正規分布または完全にノンパラメトリックな手順が考慮されているようです。と異なる推定量に基づく分類アルゴリズムを比較し、楕円分布のコンテキストでそうする1つの出版物を見つけました。 $\vec \mu$ $\Sigma$

Hartikainen、A.、Oja、H.、2006。いくつかのパラメトリック、ノンパラメトリック、セミパラメトリック識別ルールについて：データの深さ：ロバストな多変量解析、計算幾何学、およびアプリケーション。アメリカ数学会、pp。61–70。

— A.ドンダ
ソース