ランクが相関している場合にのみ、ランダム変数は相関していますか？

は有限の2次モーメントを持つ連続ランダム変数であると仮定します。スピアマンの順位相関係数の母集団バージョンは、確率積分変換およびのピアソンの積モーメント係数ρとして定義できます。ここで、はおよび累積分布関数です。 $X,Y$ $ρ_s$ $F_X(X)$ $F_Y(Y)$ $F_X,F_Y$ $X$ $Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ 。

私は一般的にそれを結論付けることができるのだろうか

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ？

すなわち、ランク間に線形相関がある場合にのみ線形相関がありますか？

更新：コメントには2つの例が示されています。

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

$X$ と $Y$ 分布が同じであっても、一般には当てはまりません。したがって、質問は次のように再定式化する必要があります。

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ？

$X$ と $Y$ が同じ分布を持っている場合、これがtrue / falseであるかどうかも非常に興味深いです。

（注： $X$ と $Y$ が正の象限依存、つまり $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ 場合、Hoeffdingの共分散式 $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ は、 $ρ(X,Y)>0$ およびもたらし $ρ(F(X),F(Y))>0$ 。

correlation pearson-r spearman-rho

— FSpanhel
ソース

ヒント：答えを得るには、任意の厳密に単調な変換の下で各相関測定値に何が起こるかを考えてください。

— 枢機

@cardinal：まあ、スピアマンのローは厳密に単調な変換の下で不変であり、古典的な線形相関係数は変化しますが、その方法は不明です（？）...特に線形相関値がゼロからその値を変更できるかどうかわかりません厳密に単調な変換の下で非ゼロ...しかし、多分私はあなたのポイントを逃しましたか？

— FSpanhel

あなたは正しい軌道に乗っています！ましょうと。次に、これら2つの厳密に単調な変換を見てみましょう。明示的にチェックしていませんが、が機能する可能性があります。

X \sim N (0, 1)

$X \sim \mathcal{N}(0,1)$

Y = X^{2}

$Y = X^2$

g (z) = \exp (- z / 2)

$g(z) = \exp(-z/2)$

— 枢機

正解です。2番目の例は、私が意図した/疑ったとおりに動作しません。ただし、このような反例を構築する方法に関する一般的な原則は依然として保持されます。そして、はい、この問題はコピュラと密接に結び付けることができます。:-)

— 枢機卿

反例を確認したら、この投稿への回答に書き留めることを検討してください。私はそれを喜んで支持します。乾杯。

— 枢機

どちらの相関がゼロであっても、データ、特に極端なデータをまったく異なる方法で「重み付け」するため、必ずしも他の相関について多くを伝えるわけではありません。サンプルで遊ぶだけですが、2変量分布/コピュラを使用して同様の例を構築できます。

1. スピアマン相関0は、ピアソン相関0を意味しません。

質問で述べたように、コメントには例がありますが、基本構造は「スピアマン相関が0の場合を構築し、スピアマン相関を変更せずに極値を取り、より極端にする」です。

コメントの例はそれを非常によくカバーしていますが、ここでは、より「ランダムな」例で遊んでみましょう。したがって、このデータ（R内）を考えてみましょう。構造上、スピアマン相関とピアソン相関の両方が0です。

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

次に、y [12]に1000を追加し、x [9]から0.6を引きます。スピアマン相関は変更されていませんが、ピアソン相関は現在0.1841です。

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

（そのピアソン相関に強い有意性が必要な場合は、サンプル全体を数回複製するだけです。）

2. ピアソン相関0は、スピアマン相関0を意味しません。

ピアソン相関がゼロで、スピアマン相関がゼロではない2つの例を示します（これらのスピアマン相関に強い有意性が必要な場合は、サンプル全体を数回複製するだけです）。

例1：

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699

ピアソンが0になるように配置された放物線上の点、ただしゼロ以外のスピアマン相関

例2：

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

y = -x上にある最小および最大を除くay = x線上の点

この最後の例では、y = xにより多くのポイントを追加し、ピアソン相関を0に維持するために左上の2つのポイントと右下の2つのポイントをより極端にすることで、スピアマン相関を強くすることができます。

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース