正規分布のランダム変数の束の中で、どれが最大ですか？

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ランダム変数ます。は、平均および分散正規分布があります。 RVSは通常、平均で配布される、分散。すべては相互に独立しています。 $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

レッツそのイベントを表し、これらの最大の、すなわち、。を計算または推定したい。私は式を関数として、または合理的な推定値または近似値を探しています。 $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

私のアプリケーションでは、は固定（）で、になる最小値を見つけたいのですが、一般的な質問にも興味があります。 $n$ $n=61$ $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
ソース

はどれくらいの大きさ

n

$n$ ですか？大標本理論に基づくいくつかの優れた漸近式があるはずです。

— whuber

@whuber、ありがとう！質問を編集しました：私の場合は

n = 61

$n=61$ です。たとえ

n = 61

$n=61$ の場合では良い漸近見積もりがある場合、大としてカウントする大規模な十分ではありません

n

$n$ 大きい、興味深いものになるだろう。

— DW

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数値積分を使用して、

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$ 。

— whuber

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そのような確率の計算は、名前の下で通信エンジニアによって広く研究されてきた $M$ 進直交シグナリング モデルはの1つであり、ここで $M$ 等しくありそうな直交信号が送信さ等しいエネルギー及び検査することによって送信されたどちらかを決定しようとする受信機信号に一致する $M$ フィルターの出力。送信された信号の同一性を条件とする、整合フィルターのサンプル出力は、（条件付きで）独立した単位分散の正規確率変数です。送信された信号に一致するフィルターのサンプル出力はランダム変数ですが、他のすべてのフィルターの出力は $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ ランダム変数。

条件とする正しい決定の条件付き確率（現在のコンテキストではイベント）はここで、は標準の累積確率分布です通常のランダム変数、したがって無条件の確率は where $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P （ C ） = \int_{- \infty}^{\infty} P （ C ∣ {バツ}_{0} = α ） ϕ （ α - μ ） d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ （ α ）]}^{n} ϕ （ α - μ ） d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ は標準の標準密度関数です。数値的に評価しなければならないこの積分値の閉形式表現はありません。判定が誤りであること- -エンジニアはまた、相補的なイベントに興味を持っているが、好きではないとしてこれを計算する、このため積分を多くの有効数字の精度まで非常に慎重に評価する必要があり、そのような評価は困難で時間がかかります。代わりに、積分を部品統合して、

P {{バツ}_{0} < \underset{私}{最大} {バツ}_{私}} = P （ E ） = 1 - P （ C ）

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {{バツ}_{0} < \underset{私}{最大} {バツ}_{私}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ （ α ）]}^{n - 1} ϕ （ α ） Φ （ α - μ ） d α 。

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ この積分は数値的に評価するのがより簡単であり、関数としての値は、リンジーとサイモンによるテレコミュニケーションシステムエンジニアリングの第5章（残念ながらのみ）でグラフ化および表化されます（1973年、ドーバー1991を押します。または、エンジニアは、結合境界またはボンフェローニ不等式ここで、は相補的な累積正規分布関数です。

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {{バツ}_{0} < \underset{私}{最大} {バツ}_{私}} & = P {（ {バツ}_{0} < {バツ}_{1} ） \cup （ {バツ}_{0} < {バツ}_{2} ） \cup \dots \cup （ {バツ}_{0} < {バツ}_{n} ）} \\ \leq \sum_{私 = 1}^{n} P {{バツ}_{0} < {バツ}_{私}} \\ = n Q （ \frac{μ}{\sqrt{2}} ） \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

ユニオンの境界から、の望ましい値は、で値を持つによって上に制限されていることがます。。これは、数値積分によって@whuberによって取得されたより正確な値 4.919よりわずかに大きくなります。 $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

ary直交信号に関する詳細な議論と詳細は、通信システムに関するクラスの講義ノートの 161-179ページにあります。 $M$

— ディリップ・サルワテ
ソース

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正式な回答：

iid変量の最大値の確率分布（密度）は次のですここで、は確率密度で、は累積分布関数です。。 $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

これから、介して、が他のよりも大きい確率を計算できます。 $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

特定のアプリケーションでこれをうまく処理するために、さまざまな近似値を調べる必要がある場合があります。

— デイブ
ソース

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\int_{y}^{\infty} p （ {バツ}_{0} ） d {バツ}_{0} = 1 - Φ （ y - μ ）

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P （ E ） = 1 - （ N - 1 ） \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} （ y ） p （ y ） Φ （ y - μ ） d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$