確率分布は無限の標準偏差を持つことができますか？

私はが確率分布であると信じています。 $p[x]$

p [x] = \frac{1}{π (1 + x^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

それはどこでも正であり、 1に統合されるためです。 $-\infty, \infty$

を積分してもは収束しませんが平均は対称性により0 です。は確率分布であると想定されているため、これは「疑わしい」ですが、は発散することがわかっているあるため、妥当です。 $xp[x]$ $-\infty, \infty$ $p[x]$ $xp[x]$ $O(1/x)$

より大きな問題は、標準偏差の計算にあります。以来、ためにも発散、ある。 $x^2 p[x]$ $x^2 p[x]$ $O(1)$

これが確率分布でない場合は、なぜですか？もしそうなら、その標準偏差は無限大ですか？

累積分布関数は、それが役立つ場合はです。 $\arctan[x]/\pi$

誰かがこれがガンマ分布であるかもしれないと述べたが、それは私には明らかではない。

distributions standard-deviation

— バリーカーター
ソース

@ user1566：LaTexを使用して方程式をフォーマットしました。エラーが発生していないことをもう一度確認してください。

— csgillespie 2010年

ありがとう、問題は解決されたので、もう大したことはありませんが、はい、すべてが正常に見えます。

— バリーカーター2010年

コーシーの平均はゼロではありません。実際、それは存在しません。したがって、どちらもその中心的な瞬間のいずれもしません。

— 枢機卿、

関連する質問への私の答えはここにあります。stats.stackexchange.com/questions/232967/...

— ハイタオ・ドゥ

質問のタイトルに答えるには：はい、確率分布は無限標準偏差を持つ可能性があります（以下を参照）。

あなたの例は、平均または分散が存在しないコーシー分布の特殊なケースです。コーシーがPDFにアクセスできるように、場所パラメーターを0に設定し、スケールを1に設定します。

平均と分散が存在せず、無限であるという違いがあります。

— 枢機卿、

コーシー分布は、積分が何にも収束しないという点で、平均も分散もありません。しかしながら、等分布に平均値を有するが、標準偏差は無限です。 $[-\infty,\infty]$ $f(x)=\frac{2}{x^3}$ $[1,\infty)$

— アレックスR.
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