平均と分散が独立している正規分布以外の分布

平均と分散が互いに独立している（または、分散が平均の関数ではない）正規分布以外の分布があるのだろうかと思いました。

distributions

質問を正しく理解しているかどうかわかりません。平均と分散によって完全に指定された正規分布以外の分布があるかどうかを尋ねていますか？ある意味で、分散は平均の周りの分散の尺度であるため、分散は平均の関数ですが、これはあなたが心に留めているものではないと思います。

サンプルの平均値

および標本分散

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

独立しています。良い質問！ガウス確率変数を射影すると、独立性が保たれますか？

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— ロビンジラール

スリカントは正しい。質問が「サンプルの平均と分散」について尋ねている場合、答えは「いいえ」です。質問が母平均と分散に関するものであれば、答えはイエスです。デビッドは以下に良い例を挙げます。

明確にするために、私が意図したことはこれです。正規分布は、平均

及び分散

完全に分布と特徴付ける

の関数ではありません

。他の多くのディストリビューションでは、そうではありません。例えば、二項分布のために、我々は、平均有する

と分散

分散が平均値の関数であるので、。他の例としては、ガンマパラメータで分布している

（スケール）と

の平均である（形状）、

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ そして、分散である

、分散が実際にあるように、

。

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

— ヴォルフガング

質問を修正することを検討してください。優先回答としてチェックした回答は、現状の質問には回答しません（他の回答は回答します）。現在、「独立した」という言葉を特異な方法で使用しています。ガンマの例はこれを示しています。シータ= sigma / muとカッパ= mu ^ 2 / sigmaを復元できるため、ガンマを平均（mu）と分散（sigma）で単純に再パラメーター化できます。言い換えれば、パラメーターの機能的な「独立性」は通常は意味がありません（単一パラメーターファミリーを除く）。

— whuber

回答:

注：@Gによる回答をお読みください。Jay Kerns、およびCarlin and Lewis 1996またはランダム変数の期待値と二次モーメントとしての平均と分散の計算の背景についてのお気に入りの確率参照を参照してください。

Carlin and Lewis（1996）の付録Aのクイックスキャンでは、平均と分散の計算に同じ分布パラメーターが使用されていないという点で、この点で通常と同様の以下の分布が提供されます。@robinが指摘したように、サンプルからパラメーター推定値を計算する場合、シグマを計算するにはサンプル平均が必要です。

多変量正規

E （ バツ ） = μ

$E(X) = \mu$

V a r （ バツ ） = Σ

$Var(X) = \Sigma$

tおよび多変量t：

E （ バツ ） = μ

$E(X) = \mu$

V a r （ バツ ） = ν σ^{2} / （ ν - 2 ）

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

二重指数：

E （ バツ ） = μ

$E(X) = \mu$

V a r （ バツ ） = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

コーシー： ある程度の資格があれば、コーシーの平均と分散は依存しないと主張することができます。

$E(X)$ $Var(X)$

参照

カーリン、ブラッドリーP.、トーマスA.ルイス。1996. Bayes and Empirical bayes Methods for Data Analysis、2nd ed。チャップマンアンドホール/ CRC、ニューヨーク

— デビッド・ルバウアー
ソース

で任意の場所スケールの家族平均と分散は、この方法で機能的に独立しています！

— whuber

デビッド、二重指数関数は素晴らしい例です。ありがとう！私はそれを考えていませんでした。t分布も良い例ですが、E（X）= 0およびVar（X）= v /（v-2）ではありませんか？または、Carlin et al。（1996）平均でシフトし、sigma ^ 2でスケーリングされたt分布の一般化バージョンを定義しますか？

— ヴォルフガング

確かに、t分布は頻繁に平均= 0および分散= 1で特徴付けられるように見えますが、CarlinとLouisが提供するtの一般的なpdfにはシグマとmuの両方が明示的に含まれています。nuパラメーターは、法線とtの差を考慮します。

— デビッドルバウアー

実際、答えは「いいえ」です。サンプルの平均と分散の独立性は、正規分布を特徴付けます。これは、「Aキャラクタリゼーションの正規分布」、The Annals of Mathematical Statistics、Vol。13、No。1（1942年3月）、pp。91-93。

私はこれを知りませんでしたが、フェラー、「確率理論とその応用の紹介、第2巻」（1966、86ページ）は、RC Gearyもこれを証明したと言います。

@onestopこれは私の年齢の不幸な成果物だと思います。フェラーの本が、世界中で確率がどのように行われたかに革命をもたらしたと言っても過言ではありません。現代の表記法の大部分は彼によるものです。何十年もの間、彼の本は勉強する確率の本でした。たぶんまだあるはずです。ところで：彼の本を聞いたことがない人のためにタイトルを追加しました。

私は他のfunyの特性についての質問...アスケいるstats.stackexchange.com/questions/4364/...

— ロビンジラール

Jay、サンプルの平均と分散のサンプリング分布は正規分布に対してのみ独立していることをうまく示しているLukacsの論文を参照してくれてありがとう。中央の2番目の瞬間については、最初の瞬間の関数ではない分布がいくつかあります（Davidはいくつかの良い例を挙げました）。

— ヴォルフガング

Geary、RC（1936）、「非正規サンプルの「学生」比率の分布」、Journal of the Royal Statistical Society、Suppl。3、178–184。

— vqv