カイ二乗分布の制限が正規分布であるのはなぜですか？

私の教授はそれを主張しました $\lim_{p\to\infty}\chi^2_p$正規分布があります。主張は中心極限定理に基づいて行われました：として、法線ます。この主張は、の限界だろうと私は、これが有効でも真であるかを確認していない左側のを、まだまた、右側に表示されます。さらに、とどちらも依存します...$p\to\infty$$(p\mu, p^2\sigma^2)$$p$$p$$\sigma^2$$\mu$$p$

何が欠けているのか、この制限の分布をどのようにして納得させるのですか？

この特性は、カイ二乗分布が独立した標準正規確率変数の二乗和の分布として得られるという事実を使用して、中心極限定理に従います。ランダム変数のシーケンス場合、次のようになります。$Z_1,Z_2,Z_3, ... \sim \text{IID N}(0,1)$

$$\chi_p^2 \equiv \sum_{i=1}^p Z_i^2 \sim \text{ChiSq}(p).$$

ここで、確率変数は、平均および分散なので、およびます。あなたが得る古典的な中心極限定理を適用すると：$Z_1^2,Z_2^2,Z_3^2, ...$$\mathbb{E}(Z_i^2) = 1$$\mathbb{V}(Z_i^2) = 2 < \infty$$\mathbb{E}(\chi_p^2) = p$$\mathbb{V}(\chi_p^2) = 2p$

$$\lim_{p \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Bigg( \frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \leqslant z \Bigg) = \Phi(z).$$

この正式な制限結果を書き込む別の方法は次のとおりです。

$$\frac{\chi_p^2 - p}{\sqrt{2p}} \overset{\text{Dist}}{\rightarrow} \text{N}(0, 1).$$

これは、カイ2乗分布で成立する正式な収束結果です。非公式に、大きな場合、おおよその分布があります。$p \in \mathbb{N}$

$$\chi_p^2 \overset{\text{Approx}}{\rightarrow} \text{N}(p, 2p).$$

厳密には正しくありませんが、この非公式な近似は一種の収束結果として主張され、が両側に現れる収束を非公式に参照します。（または、適切な順序条件を追加することにより、厳密に正しい場合もあります。）これは、おそらく教授が言及していたものです。$p$

このプロパティに関しては、スケールパラメータが無限大になる傾向があるため、ガンマ分布が正規に収束することに注意してください。カイ二乗分布の正規分布への収束は、このより広い収束結果の特殊なケースです。

$\lim_{p \rightarrow \infty} \frac{\chi^2_p - p\mu}{p\sigma} \overset{d}{\rightarrow} N(0,1)$

https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution#Relation_to_other_distributions