平均絶対偏差は標準偏差よりも小さいですか？

この定義を使用して、一般的な場合の平均絶対偏差と標準偏差を比較したいと思います。

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

ここで、です。 $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$

すべてのに対してあるというのは本当ですか？ $MAD \le SD$ $\{x_i\}^n_1$

すべての場合はであるためfalseです。 $n=2$ $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ $x, y \ge 0$

それを示すのは簡単です：

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— リスベス
ソース

回答:

いいえ、一般的にはそうではありません。

これを見る簡単な方法は、シミュレーションすることです。私は通常、反例が見つかると停止する無限ループをハッキングします。それが長時間続く場合、私はその主張が真実であるかどうかについて考え始めます。この場合、私のRコードは次のようになります。

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

それはこの反例を生み出します：

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— ステファン・コラサ
ソース

これはシミュレーションの賢い使い方です！Jensenの不等式のために結果が常に保持されるという誤った回答から私を

n - 1

$n-1$

n

$n$

— 救いました...

ただし、と分母の平均偏差を比較する答えは、反例のコンテキストを提供するため、おそらく役立つと思います。

s_{n}

$s_n$

n

$n$

— Glen_b

これはより数学的なアプローチです。まず、変数の変更により、平均がゼロであると仮定できることはおそらく本当です。確かに反例を見つけるという観点からは、これは許容されます。したがって、設定し、提案された不等式の両側を2乗して（n-1）を掛けると、提案された不等式が残ります- $\mu = 0$

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

これは怪しげに見えます。（n-1）はすべてのを補うのに十分ではありません条項。特に、すべての絶対値が同じである場合。私の最初の推測はn = 4であり、でした。これはつながります。この種のことは不平等に興味がある人にはよく知られていると思います。 $|x_i| |x_j|$ $x_i$ $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

— まぁ
ソース

でも、すべてのためあなたの建設（あらゆる使用することができます）とので、それができますすべてのに対しては限りません。

n

$n$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$

M A D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$

x_{i}

$x_i$

— Sextus Empiricus

すべての奇数については、私の構成を使用できます（、、次に他のすべてのにプラスとマイナスを交互に使用）。次に、ここで、を乗算することで不等式を明らかにできます。

n

$n$

x_{0} = - 2

$x_0=-2$

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$

M A D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$

n - 1

$n-1$

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— Sextus Empiricus

しかし、考えられるすべてのについてであるとは限りません。用語（それらのがある）十分な数が少ない場合、項で補うことができます。

M A D > S D

$MAD > SD$

x_{i}

$x_i$

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$

n^{2}

$n^2$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{i}

$x_i$

— Sextus Empiricus

@Martijn私が言っていたのは、少し代数を実行することで反例を見つける方法が示されたということだけでした。私は決して不平等だとは思いませんし、不平等は常に偽りか真かであると私が思った印象さえ与えていないと思います。

— まあまあ

「（n-1）は...を補うのに十分ではない」というコメントは、私には少し難しそうに聞こえました。十分な場合もあります。

— Sextus Empiricus