この質問は、ポケモンソウルシルバーのミニゲームに触発されたものです。

この5x6領域に15個の爆弾が隠れていると想像してください（編集：最大1個の爆弾/セル）：

行/列の合計を考慮して、特定のフィールドで爆弾を見つける確率をどのように推定しますか？

列5（合計爆弾= 5）を見ると、次のように思うかもしれません。この列では、行2で爆弾を見つけるチャンスは行1で見つける可能性の2倍です。

この（間違った）直接比例の仮定は、基本的に標準の独立テスト操作（カイ二乗など）を間違ったコンテキストに描画すると説明できるため、次の推定につながります。

ご覧のように、直接比例は100％を超える確率の推定につながり、それ以前でも間違っています。

そこで、考えられるすべての順列の計算シミュレーションを実行し、15個の爆弾を配置する276のユニークな可能性を導きました。（与えられた行と列の合計）

276のソリューションの平均は次のとおりです。

これは正しい解決策ですが、指数関数的な計算作業のため、推定方法を見つけたいと思います。

私の質問は今です：これを推定する確立された統計的方法はありますか？これが既知の問題であるかどうか、それがどのように呼ばれるか、お勧めできる論文/ウェブサイトがあるかどうか疑問に思っていました！

ソリューション空間（有効な爆弾構成）は、特定の次数シーケンスを持つ2部グラフのセットとして表示できます。（グリッドは双隣接行列です。）その空間で均一な分布を生成するには、マルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）を使用してアプローチできます。のように見える：

$$\begin{pmatrix} x & - \\ - & x \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} - & x \\ x & - \end{pmatrix}$$

これには高速混合特性があることが証明されています。したがって、有効な構成で開始し、MCMCをしばらく実行するように設定すると、解の均一分布の近似値になります。これは、探している確率を点ごとに平均化できます。

私はこれらのアプローチとその計算面については漠然としか知らないが、少なくともこの方法では、非解決策の列挙を避けることができる。

トピックに関する文献の開始：https:
//faculty.math.illinois.edu/~mlavrov/seminar/2018-erdos.pdf
https://arxiv.org/pdf/1701.07101.pdf
https：// www。 tandfonline.com/doi/abs/10.1198/016214504000001303

ユニークなソリューションはありません

いくつかの追加の仮定を行わない限り、真の離散確率分布を回復できるとは思いません。あなたの状況は基本的に周辺から共同分布を回復する問題です。金融リスク管理などの業界でコピュラを使用することで解決される場合がありますが、通常は継続的な配布に使用されます。

プレゼンス、独立、AS 205

プレゼンスの問題では、1つのセルに許可される爆弾は1つだけです。繰り返しますが、独立の特別な場合には、比較的効率的な計算ソリューションがあります。

FORTRANを知っている場合は、AS 205アルゴリズムを実装するこのコードを使用できます：Ian Saunders、アルゴリズムAS 205：繰り返し行の合計、Applied Statistics、Volume 33、Number 3、1984、340-352ページでのR x Cテーブルの列挙。@Glen_Bが参照したPanefieldのアルゴリズムに関連しています。

このアルゴリズムは、すべてのプレゼンステーブルを列挙します。つまり、フィールドに爆弾が1つしかないすべてのテーブルを調べます。また、多重度、つまり同じように見える複数のテーブルを計算し、いくつかの確率（関心のあるものではない）を計算します。このアルゴリズムを使用すると、以前よりも高速に完全な列挙を実行できる場合があります。

独立していない存在

AS 205アルゴリズムは、行と列が独立していない場合に適用できます。この場合、列挙ロジックによって生成された各テーブルに異なる重みを適用する必要があります。重量は爆弾の配置のプロセスに依存します。

カウント、独立

カウントの問題ができますつ以上の爆弾はもちろん、セルの中に入れました。カウント問題の独立した行と列の特殊なケースは簡単です：$P_i^j=P_i\times P^j$ ここで、$P_i$と$P^j$は行と列の周辺です。例えば、行$P_6=3/15=0.2$と列$P^3=3/15=0.2$、したがって爆弾が行6である確率とカラム3$P_6^3=0.04$。実際に最初のテーブルでこの分布を作成しました。

カウント、独立ではない、離散コピュラ

行と列が独立していないカウントの問題を解決するために、離散コピュラを適用できます。彼らには問題があります：彼らはユニークではありません。しかし、それらが役に立たないわけではありません。そこで、離散コピュラを適用してみます。Genest、C.およびJ.Nešlehová（2007）でそれらの概要を見つけることができます。カウントデータのコピュラの入門書。アスティンブル。37（2）、475–515。

コピュラは、通常、明示的に依存関係を誘発したり、データが利用可能なときにデータから依存関係を推定したりできるため、特に有用です。爆弾を配置するときの行と列の依存関係を意味します。たとえば、爆弾が最初の行にある場合、最初の列にもある可能性が高くなります。

例

KimeldorfとSampsonのコピュラをデータに適用して、もう一度仮定します。 して、セルに複数の爆弾を配置できると。依存パラメータのためのコピュラ$\theta$：のように定義される

$$C(u,v)=(u^{-\theta}+u^{-\theta}-1)^{-1/\theta}$$ あなたが考えることができ$\theta$相関係数のアナログとしては。

独立した

弱い依存関係の場合、$\theta=0.000001$から始めましょう。次の確率（PMF）があり、右と下のパネルにも限界PDFが表示されています。

列5では、2番目の行の確率が最初の行よりも2倍高い確率を持っていることがわかります。これは、あなたがあなたの質問で暗示しているように見えるものとは反対に間違っていません。もちろん、パネルの周辺が周波数と一致するように、すべての確率は合計で100％になります。たとえば、下のパネルの列5には1/3が表示されており、合計15個のうち5個の爆弾に対応しています。

正の相関

$\theta=10$より強い依存性（正の相関）を得るには、次のものがあります。

負の相関

強いが負の相関（依存関係）$\theta=-0.2$同じ：

もちろん、すべての確率が合計で100％になることがわかります。また、依存関係がPMFの形状にどのように影響するかを確認できます。正の依存関係（相関）の場合、対角線に集中した最高のPMFが得られますが、負の依存関係の場合、非対角線です。

あなたの質問はこれを明確にしませんが、爆弾は最初は単純なランダムサンプリングを介して配布され、セルを置き換えることはないと仮定します（セルに複数の爆弾を含めることはできません）。あなたが提起した問題は、（理論的には）正確に計算できるが、大きなパラメーター値を計算するには計算上実行不可能になる確率分布の推定方法の開発を本質的に求めていることです。

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正確なソリューションは存在しますが、計算量が集中します

$n \times m$$b$

$\mathbf{x} = (x_1,...,x_{nm})$$\mathbf{s} = (r_1, ..., r_n, c_1, ..., c_m)$$S: \mathbf{x} \mapsto \mathbf{s}$、割り当てベクトルから行と列の合計にマッピングします。

$\mathbb{P}(\mathbf{x}) \propto 1$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(\mathbf{x} | \mathbf{s}) = \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}, \mathbf{s})}{\mathbb{P}(\mathbf{s})} &= \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{\mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{1}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|} \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s}) \\[6pt] &= \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathscr{X}_\mathbf{s} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | S(\mathbf{x}) = \mathbf{s} \}$$\mathbf{s}$$\mathbf{x} | \mathbf{s} \sim \text{U}(\mathscr{X}_\mathbf{s})$。つまり、爆弾の割り当てベクトルの条件付き分布は、観測された行と列の合計と互換性のあるすべての割り当てベクトルのセットにわたって均一です。与えられたセル内の爆弾の限界確率は、この共同分布を無視することで取得できます。

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \sum_{\mathbf{x}: x_{ij} = 1} \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}) = \frac{|\mathscr{X}_{ij} \cap \mathscr{X}_\mathbf{s}|}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|}. \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathscr{X}_{ij} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | x_{ij} = 1 \}$$i$$j$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$|\mathscr{X}_\mathbf{s}| = 276$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$ そのため、このソリューションの計算は次の場合に実行不可能になる可能性があります。 $n$$m$$b$

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適切な推定方法の検索

$\mathscr{X}_\mathbf{s}$

素朴な経験的推定量：緑の表で提案し使用した推定量は次のとおりです。

$$\hat{\mathbb{P}}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \frac{r_i}{b} \cdot \frac{c_j}{b} \cdot b = \frac{r_i \cdot c_j}{b}.$$

この推定方法は、行と列を独立したものとして扱い、行と列の合計の相対頻度により特定の行/列の爆弾の確率を推定します。この推定量が合計することを確立するのは簡単です$b$