RMSEとMAEは同じ値を持つことができますか？

相互検証を実装し、RMSE、$R^2$、MAE、MSE などのエラーメトリックを計算しています。

RMSEとMAEは同じ値を持つことができますか？

はい、理論的には。私が想像できる最も簡単なケースは、すべての予測エラー（つまり、残差）が正確に$\pm$ 1 であるデータセットです。RMSEとMAEは、同じ値1を返します。他のシナリオを構築することもできますが、可能性は低いようです。

$\pm$

平均絶対誤差（MAE）は、特定の条件下で平均二乗誤差（MSE）または二乗平均平方根誤差（RMSE）と等しくなる可能性があります。これらの条件が実際に発生することはほとんどありません。

予選

$r_i = |y_i - \hat{y}_i|$$i$$r = [r_i, \dots, r_n]^T$$n$$\vec{1}$$n \times 1$

$$MAE = \frac{1}{n} \vec{1}^T r \quad MSE = \frac{1}{n} r^T r \quad RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} r^T r} \tag{1}$$

MSE

MSEをMAEと等しく設定して再配置すると、次のようになります。

$$(r - \vec{1})^T r = 0 \tag{2}$$

$r = \vec{0}$$r = \vec{1}$$\pm 1$

$(2)$$r-\vec{1}$$r$

$(2)$

$$\Big( r-\frac{1}{2} \vec{1} \Big)^T \Big( r-\frac{1}{2} \vec{1} \Big) = \frac{n}{4} \tag{3}$$

この方程式は、する表します$n$$[\frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{2}]^T$$\frac{1}{2} \sqrt{n}$

RMSE

RMSEをMAEに等しく設定して再配置すると、次のようになります。

$$r^T A r = 0 \tag{4}$$

$$A = (n I - \vec{1} \vec{1}^T)$$

$I$$A$$r$$A r = \vec{0}$$A$$n \times n$$n-1$$-1$$A r = \vec{0}$

$$(n-1) r_i - \sum_{j \ne i} r_j = 0 \quad \forall i \tag{5}$$

または、物事を並べ替えます：

$$r_i = \frac{1}{n-1}\sum_{j \ne i} r_j \quad \forall i \tag{6}$$

$r_i$$A$

$$\{r \mid r = c \vec{1} \enspace \forall c \ge 0\}$$

したがって、残差の絶対値がすべてのデータポイントで等しい場合にのみ、RMSEとMAEが等しくなります。