分布を制限しています

ましょう$(X_n)$ IIDの配列である$\mathcal N(0,1)$ランダム変数。定義$S_0=0$及び$S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ための$n\geq 1$。1の極限分布を見つける

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

この問題は、中心極限定理の章にある、確率論の問題集にあります。

以降$S_{k-1}$と$X_k$、独立している$E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$と

ことに注意してください$|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$は明らかに独立していない。問題は、確率におけるシリヤエフの問題からです、それ自体が同じ著者の教科書に基づいているにあります。教科書は相関変数のCLTをカバーしていないようです。どこかに静止したミキシングシーケンスが隠れているかどうかわかりません...

シミュレーションを実行して答えを感じました

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

以下は$2000$サンプルのヒストグラムです（$n=20.000$）。それはかなり正規分布に見えます...

分布をシミュレートすると、ラプラス分布に似たものが得られます。さらに良いのは、q-Gausian（理論を使用して見つける必要がある正確なパラメーター）のようです。

あなたの本には、それに関連するCLTのバリエーションが含まれている必要があると思います（qの一般化された中心極限定理、おそらくセクション7.6にありますが、従属変数の和の中心極限定理ですが、私はそれを調べることができません。利用可能な本を持っていない）。

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)