尤度を最大化するロジスティック回帰は、線形モデルよりもAUCも最大化する必要がありますか？

バイナリの結果およびいくつかの予測行列データセットが与えられると、標準ロジスティック回帰モデルは係数推定します二項尤度を最大化します。がフルランクの場合、は一意です。完全な分離が存在しない場合、有限です。$y\in\{0,1\}^n$$X\in\mathbb{R}^{n\times p}$$\beta_{MLE}$$X$$\beta_{MLE}$

この最尤モデルはROC AUC（別名統計）も最大化しますか、またはより高いROC AUCを取得する係数推定存在しますか？MLEが必ずしもROC AUCを最大化するとは限らない場合、この質問を見るもう1つの方法は、「ロジスティック回帰のROC AUCを常に最大化する尤度最大化の代替手段はありますか？」です。$c$$\beta_{AUC} \neq \beta_{MLE}$

それ以外のモデルは同じであると仮定しています：で予測子を追加または削除したり、モデルの仕様を変更したりすることはなく、尤度最大化モデルとAUC最大化モデルが同じリンク関数を使用していると仮定しています。$X$

それはそうではないこと$\beta_{MLE} = \beta_{AUC}$。

これを説明するために、AUCが

$P(\hat y_1 > \hat y_0 | y_1 = 1, y_0 = 0)$

つまり、AUCに影響するのは予測の順序だけです。これは、尤度関数の場合ではありません。だから、精神的な練習として、我々は、単一の予測因子を持っていたし、私たちのデータセットでは、我々は完全な分離（すなわち、表示されていないと仮定$\beta_{MLE}$有限です）。ここで、最大の予測子の値を取得し、それを少し増やすと、このソリューションの可能性は変わりますが、順序は変わらないため、AUCは変わりません。したがって、古いMLEがAUCを最大化した場合、予測変数を変更した後も引き続きAUCが最大化されますが、尤度は最大化されなくなります。

したがって、非常に少なくとも、その場合ではない$\beta_{AUC}$一意ではありません。任意の$\beta$の推定値の順序を保持し、まったく同じAUCを達成しています。AUCは、データのさまざまな側面に敏感であるため、一般的には、私たちはケースを見つけることができるはずと信じているでしょう$\beta_{MLE}$最大化しない$\beta_{AUC}$。実際、私はこれが高い確率で起こると推測します。

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次のステップは、MLEがAUCを必ずしも最大化しないことを証明することです（まだ証明されていません）。一つは、予測因子1、2、3、4、5、6のようなものを取ることによってこれを行うことができ$x$（と$x > 6$成果0、0、0、1、1、1、0と任意の正の値）$\beta$意志（関係なく、値のAUCを最大化$x$）が、我々は選ぶことができ$x$という十分な大きさを$\beta_{MLE} < 0$。