Var（X）は既知ですが、Var（1 / X）の計算方法は？

しかない場合 $\mathrm{Var}(X)$ 、 $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$ ？

の分布に関する情報 $X$ がないため、変換、または確率分布を使用する他の方法を使用できません $X$ 。

distributions variance data-transformation

— アラト
ソース

これはあなたを助けるかもしれないと思います。

— クリストフ

それは不可能です。

ランダム変数のシーケンス $X_n$ を考えます。ここで、

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

次に：

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

ただし、は、が無限大になるにつれてゼロに近づきます。 $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

この例では、事実使用の翻訳下で不変である、しかしありません。 $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

しかし、と仮定しても、は計算できません。 $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

そして

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

次に、が無限大になるにつれては1に近づきますが、すべてのになります。 $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— モグロン
ソース

テイラー級数を使用して、変換されたランダム変数の低次モーメントの近似値を取得できます。分布が（特定の意味で）平均の周りにかなり「きつい」場合、近似はかなり良いものになります。

例えば

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

そう

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

多くの場合、最初の用語のみが取られます

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

この場合（私が間違えなかったと仮定）、、。 $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

ウィキペディア：ランダム変数の関数のモーメントのテイラー展開

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これを説明するいくつかの例。Rで2つの（ガンマ分布）サンプルを生成します。1つは平均に関する「それほど厳密ではない」分布で、もう1つは少し厳密です。

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

近似は、分散が近いことを示唆しています。 $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

代数計算では、実際の母集団の分散は $1/648 \approx 0.00154$

今、よりタイトなもののために：

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

近似は、分散が近いことを示唆しています。 $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

代数計算では、逆数の母分散はます。 $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

この場合、非常に弱い仮説は、の平均（whence分散）が存在しないという結論につながることに注意してください。つまり、回答の近似はかなり誤解を招く可能性があります。:-)仮説の例は、の密度がゼロ付近の間隔で連続しており、です。密度はある間隔ゼロから離れるので、結果は次のようになります。もちろん、与えられたばかりの仮説は、可能な限り最も弱いものではありません。

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— 枢機

テイラー級数の引数が失敗する理由は、が剰余（エラー）項を隠すためです。この場合、これは周りでうまく動作し。

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— 枢機卿

実際、0付近の密度の振る舞いに注意する必要があります。上記のガンマの例では、逆分布は逆ガンマであり、有限平均を得るにはが必要です（は反転するガンマ）。2つの例にはおよび。たとえそうだとしても（反転のための「素敵な」分布で）、より高い項の無視は、顕著なバイアスを導入する可能性があります。

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b-モニカの復活

：これは正しい方向に思える、相反するのではなく、相互の標準正規分布の正規分布にシフトen.wikipedia.org/wiki/...

— フェリペ・G. Nievinski