対数正規確率変数の達成可能な相関

およびの対数正規確率変数およびを考え。 $X_1$ $X_2$ $\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$ $\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

$\rho_{\max}$ $\rho_{\min}$ $\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ および $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ 、

しかし、彼らは共単調性と反共等張性についていくつか言及しています。私は誰かがそれらがどのように関連しているかを理解するのを手伝ってくれることを望んでいました。（一般的な表現からこれを取得する方法は知っていますが、共単調性部分が何を言っているかを具体的に知りたいです。）

correlation copula

— Pk.yd
ソース

彼らは誰なの"？

— whuber

私は、の定義を提供することから始めましょうcomonotonicityとcountermonotonicityを。次に、2つのランダム変数間の可能な最小および最大相関係数の計算にこれが関連する理由について説明します。そして最後に、対数正規乱数変数およびこれらの境界を計算します。 $X_1$ $X_2$

共単性と反単調性
ランダム変数は、それらのコピュラがフレシェ上限である場合、共単調であると言われます最も強いタイプの「正の」依存。これは、ことを示すことができる $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$ あるcomonotonic場合にのみいくつかのランダムな変数であり、増加している機能、およびは分布が等しいことを示します。したがって、共単調確率変数は、単一の確率変数の関数にすぎません。

(X_{1}, \dots, X_{d}) \overset{d}{=} (h_{1} (Z), \dots, h_{d} (Z)),

$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$

Z

$Z$

h_{1}, \dots, h_{d}

$h_1, \ldots, h_d$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$

確率変数あると言われているcountermonotonicそのコピュラである場合フレシェ下限、「最強の一種であります二変量の場合の負の依存。反単調性は高次元に一般化されません。それことを示すことができる場合にのみcountermonotonicある $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$ ここではランダム変数であり、とはそれぞれ増加関数と減少関数、またはその逆です。

(X_{1}, X_{2}) \overset{d}{=} (h_{1} (Z), h_{2} (Z)),

$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$

Z

$Z$

h_{1}

$h_1$

h_{2}

$h_2$

達成可能な相関
レッツ及び厳密に正の有限差異を持つ2つの確率変数であること、およびlet および意味との間の最小および最大の可能な相関係数および。そして、それはそれを示すことができます $X_1$ $X_2$ $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$

は、とが場合にのみ、 ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ $X_1$ $X_2$
場合に限り、及び comonotonicあります。 ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$

対数正規確率変数のために達成可能な相関
入手するには私たちがしている場合にのみ場合、最大相関が得られるという事実使う及び comonotonicですが。確率変数と指数関数（厳密に）増加関数であるのでcomonotonicであるので、 $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ $X_1 = e^{Z}$ $X_2 = e^{\sigma Z}$ $Z \sim {\rm N} (0, 1)$ 。 $\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

性質用いて対数正規確率変数を、我々は、、、 ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$ ${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$ ${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$ ${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$ , and the covariance is

\begin{aligned} c o v (e^{Z}, e^{σ Z}) & = E (e^{(σ + 1) Z}) - E (e^{σ Z}) E (e^{Z}) \\ = e^{(σ + 1)^{2} / 2} - e^{(σ^{2} + 1) / 2} \\ = e^{(σ^{2} + 1) / 2} (e^{σ} - 1) . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$ Thus,

\begin{aligned} ρ_{max} & = \frac{e^{(σ^{2} + 1) / 2} (e^{σ} - 1)}{\sqrt{e (e - 1) e^{σ^{2}} (e^{σ^{2}} - 1)}} \\ = \frac{(e^{σ} - 1)}{\sqrt{(e - 1) (e^{σ^{2}} - 1)}} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$

Similar computations with $X_2 = e^{-\sigma Z}$ yield

\begin{aligned} ρ_{min} & = \frac{(e^{- σ} - 1)}{\sqrt{(e - 1) (e^{σ^{2}} - 1)}} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$

Comment
This example shows that it is possible to have a pair of random variable that are strongly dependent — comonotonicity and countermonotonicity are the strongest kind of dependence — but that have a very low correlation. The following chart shows these bounds as a function of $\sigma$ .

enter image description here

This is the R code I used to produce the above chart.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)

— QuantIbex
ソース

(+6) Nice thorough exposition and well illustrated. It is interesting that attempts to confirm your chart through simulation will be doomed when

σ

$\sigma$ is much larger than

3

$3$ because the sample correlation coefficient is extremely variable (due to the chance of getting one extremely high value of

X_{2}

$X_2$ , which will have high leverage). That places a higher value than usual on a solid theoretical analysis.

— whuber

This exposition is an adaptation of Example 2.1 (pg. 23) of M. Denuit and J. Dhaene (2003), Simple characterizations of comonotonicity and countermonotonicity by extremal correlations, Belgian Actuarial Bulletin, vol. 3, 22-27.

— cardinal

@cardinal I wasn't aware of this article, thanks. Other potential references include ebooks.cambridge.org/… or McNeil, A. J., Frey, R. and Embrechts, P. (2005). Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools. Princeton: Princeton University Press.

— QuantIbex

The example goes back to at least R. D. De Veaux (1976), Tight upper and lower bounds for correlation of bivariate distributions arising in air pollution models, Tech. Report 5, Dept. of Statistics, Stanford University. See Section 3 starting on page 6. The underlying tools were known to Hoeffding.

— cardinal

あなたの証拠に@QuantIbexは私には不明瞭な何かがあります。あなたは最初にそれを主張します

X_{1}

$X_1$ そして

X_{2}

$X_2$ それらの共同分布が次と等しい場合にのみ、共単調である

(h_{1} (Z), h_{2} (Z))

$(h_1(Z), h_2(Z))$ 、にとって

h_{1}, h_{2}

$h_1, h_2$ 増加など。ただし、この結果を対数正規確率変数に適用すると、確率変数自体が次のようになることを意味すると言います。

X_{1} = e^{Z}

$X_1=e^Z$ そして

X_{1} = e^{σ Z}

$X_1=e^{\sigma Z}$ つまり、分布だけでなく、ランダム変数自体にクレームを適用するようです。どうですか？

— RandomGuy