BUGS / JAGS / STANでプロポーションをモデリングするにはどうすればよいですか？

私は、応答が比例であるモデルを構築しようとしています（これは、実際に党が選挙区で獲得する投票のシェアです）。その分布は正規ではないため、ベータ分布でモデル化することにしました。私はいくつかの予測因子も持っています。

しかし、私はそれをBUGS / JAGS / STANで書く方法がわかりません（JAGSが私の最良の選択でしょうが、それは本当に重要ではありません）。私の問題は、予測子によってパラメーターの合計を作成することですが、それを使って何ができるでしょうか

コードは（JAG構文では）このようなものにy_hatなりyますが、およびパラメーターを「リンク」する方法がわかりません。

for (i in 1:n) {
 y[i] ~ dbeta(alpha, beta)

 y_hat[i] <- a + b * x[i]
}

（y_hatは、パラメーターと予測子のクロス積であり、したがって決定論的な関係です。aそしてb、私xが予測しようとする係数であり、予測子です）。

あなたの提案をありがとう！

ベータ回帰アプローチは、および観点からパラメーターを再設定することです。ここで、は予測したy_hatと同等です。このパラメーター化では、とます。次に、を線形結合のロジットとしてモデル化できます。 は独自の事前分布（0より大きい必要があります）、または共変量でモデル化できます（指数関数など、リンク関数を選択して0より大きい値を維持します）。φ μ α = μ × φ β = （1 - μ ）× φ μ $\mu$$\phi$$\mu$$\alpha=\mu\times\phi$$\beta=(1-\mu) \times \phi$$\mu$$\phi$

おそらく次のようなもの：

for(i in 1:n) {
  y[i] ~ dbeta(alpha[i], beta[i])
  alpha[i] <- mu[i] * phi
  beta[i]  <- (1-mu[i]) * phi
  logit(mu[i]) <- a + b*x[i]
}
phi ~ dgamma(.1,.1)
a ~ dnorm(0,.001)
b ~ dnorm(0,.001)

グレッグ・スノーは素晴らしい答えを出しました。完全を期すために、これはStan構文の同等のものです。Stanには使用できるベータ分布がありますが、定数log(y)とlog(1-y)は最初に（y ~ beta(alpha,beta)呼び出されるたびにではなく）一度計算できるため、ベータ密度の対数を自分で計算する方が高速です。予約lp__変数をインクリメントすることにより（以下を参照）、サンプルの観測値に対するベータ密度の対数を合計できます。線形予測子のパラメーターベクトルにラベル「gamma」を使用します。

data {
  int<lower=1> N;
  int<lower=1> K;
  real<lower=0,upper=1> y[N];
  matrix[N,K] X;
}
transformed data {
  real log_y[N];
  real log_1my[N];
  for (i in 1:N) {
    log_y[i] <- log(y[i]);
    log_1my[i] <- log1m(y[i]);
  }
}
parameters {
  vector[K] gamma;
  real<lower=0> phi;
}
model {
  vector[N] Xgamma;
  real mu;
  real alpha_m1;
  real beta_m1;
  Xgamma <- X * gamma;
  for (i in 1:N) {
    mu <- inv_logit(Xgamma[i]);
    alpha_m1 <- mu * phi - 1.0;
    beta_m1 <- (1.0 - mu) * phi - 1.0;
    lp__ <- lp__ - lbeta(alpha,beta) + alpha_m1 * log_y[i] + 
                                        beta_m1 * log_1my[i];
  }
  // optional priors on gamma and phi here
}