私は混乱しています。ARMAとGARCHのプロセスの違いを理解していません。

これが（G）ARCH（p、q）プロセスです

$$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$$

そして、ここにARMA（$p, q$）があります：

$$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$$

単にARMA GARCHの拡張であり、GARCHは、戻りのためと仮定して使用されているεが強い白色プロセスに従いますか？$r = \sigma\varepsilon$$\varepsilon$

プロセスの機能とその表現を混同しています。（リターン）工程検討。$(Y_t)_{t=0}^\infty$

• ARMA（p、q）モデルは、プロセスの条件付き平均を次のように指定します。

ここでは、Itは時間で情報セットであるTであり、σ-代数遅れ値により生成されます結果プロセス（Yt）の。

$$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$$ $\mathcal{I}_t$$t$$\sigma$$(Y_t)$

• GARCH（r、s）モデルは、プロセスの条件付き分散を指定します $$\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$$

特に最初の等価性注意してください。$\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

脇：この表現に基づいて、あなたは書くことができ Zのトンが強いホワイトノイズプロセスであるが、これはプロセスが定義されている方法に従います。

$$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$$ $Z_t$

• 2つのモデル（条件付き平均と分散）は、プロセスの平均をARMAとして、分散をGARCHとしてモデル化できるという点で、互いに完全に互換性があります。これにより、次の表現Y tのように、プロセスのARMA（p、q）-GARCH（r、s）モデルが完全に指定されます。 $$\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$$

編集：答えが欠けていることに気付き、より正確な答えを提供しました（以下を参照-または多分上記）。事実上の誤りのためにこれを編集し、記録のために残しています。

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さまざまなフォーカスパラメータ：

• ARMAは、プロセスの条件付き 平均の特定の構造を課す確率的プロセスの実現のためのモデルです。
• GARCHは、プロセスの条件付き 分散の特定の構造を課す確率的プロセスの実現のためのモデルです。

確率モデルと決定論モデル：

• ARMAは、確率論的モデル確率過程の実現- -遅れ従属変数と遅れモデル誤差（条件付き平均）の決定論的関数の和として指定されている従属変数があるという意味で、および確率的誤差項。
• GARCHは、従属変数（プロセスの条件付き分散）が遅延変数の純粋に決定論的な関数であるという意味で、決定論的モデルです。

アルマ

$y_t$$p,q$$I_{t-1}$$y_t$$\mu_t$$y_t$$I_{t-1}$$u_t$

$$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$$

$D$

$\mu_t$$p,q$

$$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$$ $m:=\max(p,q)$$\varphi_i=0$$i>p$$\theta_j=0$$j>q$$p,m$$p,q$$y_t$

$y_t$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$$

後者の表現は、ARMAとGARCHおよびARMA-GARCHとの比較を容易にします。

ガルシュ

$y_t$$s,r$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$$

$u_t:=y_t-\mu_t$$D$

$\sigma_t^2$$s,r$

ARMA-GARCH

$y_t$$p,q$$s,r$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$$

$u_t:=y_t-\mu_t$$D$$\varphi_i=0$$i>p$$\theta_j=0$$j>q$

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$y_t$$I_{t-1}$

ARMAとGARCHのプロセスは、プレゼンテーションにおいて非常に似ています。2つの間の分割線は非常に細いです。これは、ARMAプロセスがエラー分散に対して想定されているときにGARCHを取得するためです。