『なぜ書』の相互作用に関する議論

The Book of Why（Pearl＆Mackenzie、2018）、第9章（私はepub形式の本を持っているのでページ番号を共有できない）に相互作用に関する段落があり、著者は次のように主張しています。

ただし、式9.4は1つの状況で自動的に成立し、偽りの事実を呼び出す必要はありません。それは、第8章で見たような線形因果モデルの場合です。そこで議論されているように、線形モデルは相互作用を許可しません。これは、長所と短所の両方になる可能性があります。これは、メディエーション分析をはるかに容易にするという意味での美徳ですが、相互作用を伴う実際の原因プロセスを記述したい場合は欠点です。【エンファシス鉱山】

式9.4は

Total Effect = Direct Effect + Indirect Effect

$\text{Total Effect = Direct Effect + Indirect Effect}$

彼らは以前に第8章で同様の議論を繰り返した。

一方、線形モデルは直線ではない用量反応曲線を表すことができません。それらは、特定の投与量まで効果が増加し、その後は効果がない薬剤などの閾値効果を表すことはできません。また、変数間の相互作用を表すこともできません。たとえば、線形モデルは、ある変数が別の変数の影響を強化または抑制する状況を記述できません。（たとえば、教育は、個人がより大きなトラックの仕事に就くことによって経験の効果を高めるかもしれません。そして、より大きな年間昇給を得ます。）[エンファシス鉱山]

そして第7章では：

また、回帰ベースの調整*は線形モデルに対してのみ機能することにも注意してください。これには、主要なモデリングの仮定が含まれます。線形モデルでは、XのYに対する影響がZのレベルに依存する場合など、非線形相互作用をモデル化する機能が失われます。一方、バックドア調整は、何がわからない場合でも正常に機能します関数は、図の矢印の後ろにあります。しかし、このいわゆるノンパラメトリックのケースでは、次元の呪いに対処するために他の外挿法を採用する必要があります。【エンファシス鉱山】

なぜパール＆マッケンジーは線形モデルは相互作用を許さないと主張するのですか？重要な詳細やコンテキスト固有の情報を見落としていますか？

*回帰ベースの調整により、著者は（前の段落で）時々呼んでいる、他の変数の「制御」を参照します：「回帰直線の類似体は、ような方程式を持つ回帰平面です。 ...係数は、に対して既に調整された上のの回帰係数を与えます（これは、部分回帰係数と呼ばれ、と書かれています。） " $Y=aX+bZ+c$ $a$ $Y$ $X$ $Z$ $r_{YX.Z}$

references interaction causality

— TEG
ソース

あなたの引用は質問を強調するだけです、例えば回帰ベースの調整とは何かについての情報を提供できますか？

— seanv507

作者は、回帰ベースの調整により、（前の段落で）時々呼んでいる、他の変数の「制御」を参照します：「回帰直線の類似体は、ような方程式を持つ回帰平面です。 ...係数は、に対して既に調整された上のの回帰係数を与えます。（これは偏回帰係数と呼ばれ、と書かれています。） "

Y = a X + b Z + c

$Y = aX + bZ + c$

a

$a$

Y

$Y$

X

$X$

Z

$Z$

r_{Y X . Z}

$r_{YX.Z}$

— TEG

なので、多分これを質問に追加してください...これは相互作用の項の理論ではまだ可能ですが、実際には通常は行われません

— seanv507

回答:

線形入力パラメーターと線形入力変数を融合しています。ここでの直線性とは、変数間の関係を指します。

本の彼らのポイントは、モデルが変数で線形でない場合、方程式も

トータルエフェクト = 直接効果 + 間接効果

$\text{Total Effect} = \text{Direct Effect} + \text{Indirect Effect}$

は成り立ちません。また、回帰係数は適切なバックドア調整を直接提供しません。

たとえば、最後のケースについて、条件付き期待値考えます。これは、およびに対して線形です。 $E[Y|x,z] = \beta x + \gamma z$ $X$ $Z$

もし満足の因果効果のためにバックドア基準上の、次いで $Z$ $X$ $Y$

\frac{\partial E [Y | d o （ バツ ）]}{\partial バツ} = \frac{\partial E [E [Y | バツ 、 Z]]}{\partial バツ} = β

$\frac{\partial E[Y|do(x)]}{\partial x} = \frac{\partial E[E[Y|x, Z]]}{\partial x} = \beta$

つまり、回帰係数は平均の限界因果効果に等しくなります。これは、この場合の「回帰ベースの調整機能」が意味するものです。ここでは追加の手順は必要ありません。バックドア調整に必要なすべての平均化は、回帰によって自動的に行われます。 $\beta$

次に、条件付き期待値考えます。これは、およびに関して線形ではないことに注意してください（パラメーターでは線形です）。 $E[Y|x,z] = \beta x + \gamma z + \delta (x \times z)$ $x$ $z$

この場合、ノート場合の因果効果のために満たすバックドア基準上の、次いで $Z$ $X$ $Y$

\frac{\partial E [Y | d o （ バツ ）]}{\partial バツ} = \frac{\partial E [E [Y | バツ 、 Z]]}{\partial バツ} = β + δ E [z]

$\frac{\partial E[Y|do(x)]}{\partial x} = \frac{\partial E[E[Y|x, Z]]}{\partial x} = \beta + \delta E[z]$

つまり、正しいバックドア調整は、のみの回帰係数では与えられません。 $X$

より一般的には、パールは、がバックドア基準を満たしている場合、介入後分布。 $Z$ $E[Y|do(x)] = E[E[Y|x, Z]]$

— カルロスシネリ
ソース

ありがとう、@ CarlosCinelli。このスレッド（stats.stackexchange.com/a/376925/109647）からパールの仕事への関心を知っているので、ここに回答を書いていただいてよかったです。以前の回答よりも詳細ですが、基本的には同意しています。したがって、線形モデルでは、Pearlは変数では線形を意味しますが、パラメーターでは線形を意味しません。しかし、これが私の問題です。線形モデルの「線形」という用語は、変数が線形であることを指していません。私が知る限り、それは決してしません…

— TEG

この回答（stats.stackexchange.com/a/8706/109647）で述べられているように、「線形は、推定しているパラメーターと結果の間の関係を指します。」これは、回帰コースで最初に学んだことの1つです。線形回帰で非線形関係（たとえば、多項式項）をモデル化できます。パラメータが線形でないモデル（例：）の非線形という用語を保存します…

y = e^{β} + ε

$y= e^{\beta} + \varepsilon$

— TEG

私は何も混同しておらず、説明を求めているだけのようです。どちらの答えもこれに要約されます。パールは「線形モデル」によって別の意味を持ちます。しかし、私はパールが好む用語の使用を採用する理由はありません。また、線形モデル（パラメータの線形など）では相互作用が可能です。私が見落としているのは、ここで使用されている「線形モデル」の別の方法のみである場合は、この答えを受け入れます。

— TEG

こんにちは@TEGあなたが引用する答えは回帰モデルについて話している。ここでは、因果関係（構造）モデルについて話しています。f（x、z）がxとzの線形関数である場合、構造方程式y = f（x、z）は線形です。OLSと変数変換を使用してf（x、z）を推定できる場合がありますが、f（x、z）は線形ではありません。すべての関数が線形である場合、構造モデルは線形であると言います。これはセマンティクスの違いだけではありません。パールが言うように、構造モデルが線形でない場合、（1）バックドア調整は回帰調整とは異なります。（2）分解TE = DE + IEは成立しません

— Carlos Cinelli

変数では、「すべての関数が線形である場合、構造モデルは線形である」と言いますか？したがって、ようなモデルは、因果モデリングフレームワークでは線形ではありません。

Y = β_{0} + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + β_{3} (X_{1} \times X_{2}) + ε

$Y= \beta_0 +\beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \beta_3(X_1 \times X_2) + \varepsilon$

— TEG

「純粋な線形」モデルはそれを考慮していません。一般線形モデルの特定のケースを使用して相互作用をモデル化する場合（これを一般化線形モデルと間違えないでください）、2つの相互作用する変数の積のような人工の追加変数を導入する必要があります。

この新しいモデルは、パラメーターに関しては依然として線形です（これは推定量を取得するために重要なことです）が、変数に関してはもはや線形ではありません（リグレッサとターゲット間の線形関係について話すことはできません）

— デビッド
ソース

ありがとうございました。「純粋な線形」モデルとは何ですか？また、著者は本でそのような用語を使用しませんでした。

— TEG

彼らはしませんでした。私はちょうどそれを作りました。変数とパラメーターの両方に関して線形であるモデルについて言及します

— David