イベントが何度も発生する前に、既知の確率でイベントを繰り返す回数

イベントが発生する確率がわかっていて、1％の確率で、イベントを何回か（120回）発生させる必要がある場合、その数のイベントが発生する前に、何回イベントを繰り返す必要がありますか。時の？

のシーケンスを考えます $n$ 成功確率のある独立した試験 $p$。しましょう$X$ のうちの成功の数である $n$裁判。その後$X$持っている二項分布のパラメータとし$n$ そして $p$。Binomial rvの期待値は$E(X) = np$。簡単なアプローチは、これを$120$ そして解決する $n$。以来$p=0.01$、 我々は持っています $n(0.01) = 120$ つまり $n=12,000$ 試用版を取得する予定です $120$ 成功。

あるいは、ここに、観察するために必要な試行の数を与える関連するアプローチがあります $r=120$ ある程度の確率で成功 $\gamma$ （すなわち $\gamma=0.95$）。

成功確率のある一連の独立した試験を検討する $p$。しましょう$X$ 観察するために必要な試行回数 $r$成功。その後$X$持っている負の二項分布のパラメータとし$r$ そして $p$。あなたの場合、$X \sim \text{Negative-Binomial}(120, 0.01)$、あなたが見つけたい $x$ そのような

負の二項分布には閉形式の変位値関数はありませんが、これは $x$簡単に解決できます。たとえば、答えはRで次のように入力して取得できますqnbinom(.95, 120, .01)。答え$x=13728$ それを示します $13,728$ 試験では、95％の確率で観察する必要があります。 $120$ （またはそれ以上）の成功。

まず、成功の可能性は常に1％であるとおっしゃっていたので、実験は独立していると仮定します。質問のキーワードは「期待」です。これは、平均値または期待値を探すことを意味します。

試行回数に興味がある場合 $X$ （成功の一般的な確率で $p$）、取得に必要 $r$ 成功した場合、これを確率質量関数を持つ負の二項確率変数としてモデル化できます。

ために $x=r,r+1,...,$

負の2項の期待値は、次のようによく知られています。

あなたの場合、 $p=0.01$ そして $r=120$。したがって、取得するために必要な実験の独立した試行の予想数（時間）$120$ 成功は単純に $120/0.01=12,000$

他の人が指摘したように、十分な回数成功する可能性は負の二項分布に従います。これをプロットすると便利です。これをRで行うには、次のようにします。

plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01),120,20000)

それは与える：

ご覧のように、S字型の形状であり、大きな領域があり、実際にはほとんど確実性はなく、ほぼ確実であり、2つの値が期待値に近く急激に変化しています。したがって、試行回数を増やしても、既に決定した数に応じて、目標を達成する可能性にほとんどまたは非常に大きな影響がない場合があります。

この関数をトレイルの数（つまり、試行ごとの平均確率）でスケーリングすると、明確な最大値があることがわかります。

plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,120,20000)

あなたが識別することができます：

optimise(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,c(120,20000),maximum=TRUE)
$maximum
[1] 13888

$objective
[1] 6.929301e-05

knrumseyが言うように、成功数は二項分布に従いますが、あなたは精度の高いレベルを必要とする場合を除き、1％は、あなたがの近似値を使用できることを十分に小さい数であるポアソン分布をと$\lambda=120\frac{1\%}{99\%}=1.2121$