状況

一部の研究者は、あなたを眠らせたいと思っています。公正なコインの秘密のトスに応じて、彼らはあなたを一回（頭）または二回（尾）目覚めさせます。それぞれの目覚めの後、彼らはあなたがその目覚めを忘れさせる薬であなたを眠りに戻すでしょう。あなたが目覚めたとき、コイントスの結果はどの程度ヘッズだと信じるべきですか？

（OK、この実験の対象になりたくないかもしれません！代わりに、Sleeping Beauty（SB）がそれに同意していると仮定します（もちろん、魔法の王国の治験審査委員会の完全な承認を得て）。 100年寝るので、とにかくあと1、2日は何ですか？）

[ マックスフィールドパリッシュのイラストの詳細。]

あなたはハーフまたはサードですか？

Halferポジション。 シンプル！コインは公正であり、SBはそれを知っているので、彼女は頭の半分のチャンスがあると信じるべきです。

サードポジション。この実験が何度も繰り返された場合、コインはSBが目覚める時間の3分の1だけ頭になります。彼女の頭の確率は3分の1です。

サードに問題がある

これについて書いた人のほとんどは、すべてではありませんが、第三者です。しかし：

• 日曜日の夕方、SBが眠る直前に、彼女は頭のチャンスが半分であると信じなければなりません：それは公正なコインであるということです。

• SBが目覚めるたびに、彼女は日曜日の夜に彼女が知らなかったことを全く学ばなかった。 彼女は、頭への信念が今では半分ではなく3分の1であると述べるために、どのような合理的な議論をすることができますか？

いくつかの試みられた説明

• SBは、1/3以外のオッズで頭に賭けた場合、必然的にお金を失います。（Vineberg、inter alios）

• 半分は本当に正しい：量子力学のエバーレッティの「多くの世界」の解釈を使用するだけです！（ルイス）。

• SBは、世界の彼女の「時間的位置」の自己認識に基づいて彼女の信念を更新します。（エルガ、ia）

• SBは混乱しています。「[目覚めたときの認識状態に、頭に対する明確な信念が含まれるべきではないと言うのはもっともらしいようです。…本当の問題は、既知の避けられない認知機能障害にどのように対処するかです。」[Arntzenius]

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質問

この主題について既に書かれていることを考慮して（参考文献および以前の投稿を参照）、このパラドックスを統計的に厳密な方法でどのように解決できますか？これも可能ですか？

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参照資料

Arntzenius、フランク（2002）。 眠れる森の美女分析に関する考察 62.1 pp 53-62。

ブラッドリー、DJ（2010）。 分岐世界での確認：エベレットの解釈と眠れる森の美女。ブリット。J.フィル。科学 0（2010）、1〜21。

エルガ、アダム（2000）。自己発見の信念と眠れる森の美女の問題。分析60 pp 143-7。

フランチェスキ、ポール（2005）。 眠れる森の美女と世界縮小の問題。プレプリント。

グロイスマン、ベリー（2007）。 眠れる森の美女の悪夢の終わり。プレプリント。

ルイス、D（2001）。 眠れる森の美女：Elgaへの返信。分析61.3 pp 171-6。

パピノー、デビッド、ビクターデュラビラ（2008）。 サードとエベレッティアン：ルイスの「眠れる森の美女」への返信。

Pust、Joel（2008）。 眠れる森の美女のホーガン。合成160 pp 97-101。

Vineberg、スーザン（未定、おそらく2003）。 美の注意書き。

戦略

合理的な決定理論を分析に適用したいと思います。それは、統計的決定問題を解く際に厳密さを達成するための確立された方法の1つだからです。そうしようとすると、SBの意識の変化という特別な問題が生じます。

• 合理的な意思決定理論には、変化した精神状態を処理するメカニズムがありません。

• SBにコインフリップでの信用を求めて、私たちは彼女を（SB実験の）主題と実験者（コインフリップに関する）の両方として、いくぶん自己参照的な方法で扱います。

実験を非本質的な方法で変更しましょう。記憶消去薬を投与する代わりに、実験が始まる直前にスリーピングビューティークローンのstable 舎を準備します。（これは重要なアイデアです。なぜなら、それが気を散らすことに抵抗するのに役立つからです-しかし、最終的には無関係で誤解を招く哲学的な問題です。）

• クローンは、記憶や思考など、あらゆる点で彼女に似ています。

• SBは、これが起こることを完全に認識しています。

私たちはすることができ、原理的には、クローンを作成します。 ETジェインズは、「眠れる森の美女」の問題を考えるために必要な「人間の常識の数学モデルをどのように構築できるか」という質問を「有用なもっともらしい推論を実行する機械をどのように構築できるか」に置き換えます。理想化された常識を表現する明確に定義された原則に従っていますか？」したがって、必要に応じて、SBをJaynesの思考ロボットに置き換え、それを複製します。

（「思考」マシンに関する論争があり、現在も続いています。

「彼らは人間の心に取って代わる機械を作ることは決してありません。それは機械では不可能だった多くのことをします。」

機械にはできないことがあると主張します。機械ができないことを正確に教えてくれるなら、私はいつでもそれができる機械をいつでも作ることができます！」

--J。フォン・ノイマン、1948年。確率論におけるETジェインズの引用：科学の論理、p。4.）

-ルーベ・ゴールドバーグ

眠れる森の美女実験

日曜日の夕方に、SBの同一コピー（SB自身を含む）を枚用意します。彼らはすべて、潜在的に100年間、同時に眠りにつく。実験中にSBを起こす必要があるときはいつでも、まだ起こされていないクローンをランダムに選択します。覚醒は月曜日に発生し、必要に応じて火曜日に発生します。$n \ge 2$

このバージョンの実験では、まったく同じ確率で、SBの精神状態と意識に至るまで、まったく同じ結果セットが作成されると主張しています。これは、哲学者が私のソリューションを攻撃することを選択する可能性のある重要なポイントの1つです。残りの分析は日常的で厳密であるため、攻撃できる最後のポイントだと主張します。

ここで、通常の統計機構を適用します。 （可能な実験結果の）サンプル空間から始めましょう。ましょう「月曜日目覚め」を意味し、平均「火曜日目覚め。」同様に、は「頭」を意味し、「t」は尾を意味します。整数クローンに添え字を付けます。次に、可能な実験結果をセットとして書くことができます（私が望むのは透明で自明の表記法です）TのH 1 、2 、... 、$M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

月曜日の確率

SBクローンの1つとして、ヘッズアップ実験中に月曜日に目覚める可能性は（頭のチャンス）回（目覚めたクローンに選ばれる確率）であると考えています。より技術的な用語で：1 /$1/2$$1/n$

• ヘッドの結果のセットはです。それらはあります。$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• あなたが頭で目覚めるイベントはです。$h(i) = \{hM_i\}$

• 特定のSBクローンが頭を示すコインで目覚める可能性は、$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

火曜日の確率

• テールの結果のセットはです。それらはあります。設計上、すべて同じように考えられます。n （n − 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• あなた、クローン、これらのケースので目覚めます。つまり、月曜日に目覚める方法（火曜日に目覚める残りのクローンがあります）と火曜日に目覚める方法（月曜日に可能なクローンがあります）。このイベントを呼びます。（n − 1 ）+ （n − 1 ）= 2 （n − 1 ）n − 1 n − 1 n − 1 n − 1 t （i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• 後尾アップ実験中に目覚める確率は、

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

ベイズの定理

ここまで来たので、論争を超えた数学的トートロジーであるベイズの定理が研究を仕上げました。したがって、クローンの頭の可能性は

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

SBは彼女のクローンと区別がつかないので、彼女自身にさえも！

解釈

「ヘッドの確率とは何か」という質問には、この実験の2つの合理的な解釈があります。フェアコインが（ハーフの答え）でヘッドを着くチャンスを求めることができます。あなたがクローンが目覚めたという事実を条件に、コインが頭に着くチャンスを求めてください。これは、（番目の答え）です。PR [ H | T （I ）∪ H （私は）] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

SB（またはまったく同じように準備された一連のJaynes思考マシンのいずれか）が自分自身を見つけた状況では、この分析（他の多くの人が実行した）実験の説明で）-Thirderの回答をサポートしています。

Halferの答えは正しいが、SBが自分自身を見つけた状況とは関係がないので、面白くない。これはパラドックスを解決します。

このソリューションは、明確に定義された単一の実験セットアップのコンテキスト内で開発されています。 実験を明確にすると、質問が明確になります。明確な質問は明確な答えにつながります。

コメント

Elga（2000）に従って、条件付き回答を「hの真実に関連する自分の時間的位置を数える」と合法的に特徴づけることができると思いますが、この特性化は問題に洞察を加えません。証拠の数学的事実。私には、それは確率質問の「クローン」解釈が正しいものであると断言する単なるあいまいな方法のようです。

この分析は、根本的な哲学的問題がアイデンティティの 1つであることを示唆しています：起こされていないクローンはどうなりますか？クローン間でどのような認知的関係と新婚的関係が成り立っていますか？-しかし、その議論は統計分析の問題ではありません。それは別のフォーラムに属します。

この素晴らしい投稿（+1）とソリューション（+1）に感謝します。このパラドックスはすでに頭痛の種です。

妖精、奇跡、魔法のポーションを必要としない次の状況を考えました。月曜日の正午に公正なコインを裏返します。「テイルズ」になったら、アリスとボブにメールを送信します（相手があなたからメールを受け取ったことを知らず、通信できないことを伝えます）。「Heads」で、ランダムに（確率）それらの1つにメールを送信します。$1/2$

アリスがメールを受け取ったとき、コインが「ヘッド」に上陸する確率はどのくらいですか？彼女が手紙を受け取る確率はで、コインが「Heads」に上陸する確率はです。1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

アリスは確率で手紙を受け取らないので、ここには矛盾はありません。その場合、彼女はコインが「ヘッド」に上陸したことを知っています。その場合に彼女の意見を求めないという事実は、この確率を0に等しくします。$1/4$

それで、違いは何ですか？アリスがメールを受信することで情報を取得し、SBが目覚めていることを学習しないのはなぜですか？

さらに奇跡的な状況に移り、2つの異なるSBをスリープ状態にしました。コインが「テール」に着地した場合、両方を起動し、「ヘッド」に着陸した場合、ランダムにいずれかを起動します。ここでも、各SBは、「頭」にコインが上陸する確率はあり、このSBが目覚めない可能性はため、逆説はありません。$1/3$$1/4$

ただし、この状況は、メモリの消去（またはクローン作成）が2つの異なるSBを持つことに等しいため、元のパラドックスに非常に近いです。だから、私はここで@Douglas Zareと一緒です（+1）。SBは目覚めることで何かを学びました。彼女が眠っているためにコインが「頭」になっている火曜日に彼女の意見を表明できないという事実は、目覚められて彼女が持っている情報を消去しません。

私の意見では、パラドックスは「彼女は日曜日の夜を知らなかったことをまったく学んでいない」にあり、それは正当化なしに述べられています。彼女が目覚めたときの状況は同じであるため、私たちはこの印象を持っていますが、これはアリスがメールを受信するのとまったく同じです。

主な編集：深い考えを与えた後、私は私の意見を変えます：眠れる森の美女は何も学ばず、上記の例は彼女の状況の良いアナログではありません。

しかし、これは逆説的ではない同等の問題です。アリスとボブと一緒に次のゲームをプレイすることができました。私はコインを密かにトスし、彼らが推測できない1 ドルを独立してベットしました。しかし、コインが「テイルズ」に着地した場合、ボブのアリスのどちらかのベットはキャンセルされます（お金は手を変えません）。彼らはルールを知っているので、彼らは何を賭けるべきですか？

明らかに「頭」。コインが「Heads」に着地した場合、1 ドルを獲得します。それ以外の場合、平均で0.5 ドルを失います。コインが「ヘッド」に2/3の確率で着地すると信じているということですか？わかりません。単純にプロトコルは、各回答に対して同じ金額を獲得しないようなものです。

眠れる森の美女はアリスやボブと同じ状況にあると思います。イベントは彼女にトスに関する情報を提供しませんが、ベットするように頼まれた場合、ゲインの非対称性のためにオッズは1：1ではありません。これが@whuberの意味だと思う

Halferの答えは正しいが、SBが自分自身を見つけた状況とは関係がないので、面白くない。これはパラドックスを解決します。

「SBが目覚めるたびに、彼女は日曜日の夜を知らなかったことをまったく学んでいません。」「これは宝くじに当選するか当選しないので、確率はです」と言っているように間違っています。彼女は目が覚めたことを知りました。これは情報です。今、彼女は、各コインの反転ではなく、可能性のある各覚醒が等しく起こりそうだと信じるべきです。$50\%$

あなたが医者であり、患者があなたのオフィスに入った場合、あなたは患者が医師のオフィスに入ったことがわかりました。全員が医者に行くが、人口の病気の半分が健康な半分の倍になる場合、患者が入ってくると、患者はおそらく病気であることがわかります。$100$

別のわずかなバリエーションがあります。コイントスの結果が何であれ、Sleeping Beautyが2回目覚めると仮定します。しかし、それが尾の場合、彼女は2回うまく目が覚めます。頭であれば、彼女は一度目を覚まし、氷の入ったバケツを一度投げます。彼女が氷の山で目覚めた場合、彼女はコインが頭に浮かんだという情報を持っています。彼女がうまく目覚めた場合、彼女はおそらくコインが頭に浮かばなかったという情報を持っています。彼女は、正の結果（氷）が彼女の頭がより可能性が高いことを示す非縮退テストを持つことはできません。

パラドックスは、単一の実験とその限界点の間の視点の変化にあります。実験の数を考慮すると、二分の一と三分の一の「どちらか/または」よりも正確にこれを理解できます。

単一の実験：半分は正しい

単一の実験がある場合、3つの結果があり、目覚めた人の観点から確率を把握するだけです。

1. 頭が投げられた：50％
2. 尾は投げられ、これが私の最初の目覚めです：25％
3. 尾が投げられ、これが私の2回目の覚醒です：25％

したがって、1回の実験で、どのウェイクアップイベントでも、頭が投げられた状態にあることを50/50と想定する必要があります。

2つの実験：42％の人が正しい

次に、2つの実験を試してください。

1. 頭は2回投げられました：25％（両方の覚醒を合わせて）
2. 尾は2回投げられました：25％（4つの目覚めすべてを合わせて）
3. Heads then Tailsそしてこれが私の最初の目覚めです：25％/ 3
4. Heads then Tails、これは私の2回目または3回目の目覚めです：25％* 2/3
5. テールズ、ヘッズ、これが私の最初または2回目の覚醒：25％* 2/3
6. テールズ、ヘッズ、これが私の3度目の覚醒です：25％/ 3。

だからここで、{1,3,6}、あなたのヘッドである（25 + 25/3 + 25/3）％、41.66パーセント、の複合確率で述べ未満、50％。 ウェイクアップイベントで2つの実験を実行する場合、ヘッズが投げられた状態にいる確率は41.66％であると想定する必要があります。

無限の実験：Thirdersは正しい

ここでは計算を行いませんが、2つの実験オプションを見ると、＃1と＃2が半分に、残りが3分の1に向かっていることがわかります。実験の数が増えると、半分（すべての頭/すべての尾）に向かうオプションの確率がゼロに低下し、「3分の1」のオプションが引き継がれます。 ウェイクアップイベントで無限の実験が実行される場合、1/3の確率で頭が投げられた状態にあると想定する必要があります。

レトルトを先取りする：

しかし、ギャンブル？

はい、単一の実験インスタンスでは、3分の1ごとに「ギャンブル」する必要があります。これは矛盾ではありません。それは、特定の結果が得られた場合に同じベットを複数回行う可能性があり、これを事前に知っているからです。（またはそうしない場合、マフィアはそうします）。

さて、2つの単一の実験はどうですか？食い違い？

いいえ。最初の実験か2回目の実験のどちらであるかに関する知識が、あなたの知識に追加されるからです。「2つの実験」オプションを見て、最初の実験であるという知識でフィルターしてみましょう。

1. 最初の覚醒に適用可能（1/2）
2. 最初の2つの覚醒に適用（2/4）
3. 該当する
4. 適用できません
5. 最初の覚醒に適用可能（1/2）
6. 適用できません

さて、Heads ones（1,3,6）にこれらを掛けて、オッズに適用可能性を加えてください：25/2 + 25/3 + 0 = 125/6。

次に、Tailsのもの（2,4,5）を取得し、同じことを行います：25 * 4/2 + 0 + 25 *（2/3）/ 2 = 125/6。

ビオラ、彼らは同じです。実際にどの実験に関する追加情報により、知っていることの確率が調整されます。

しかし、クローン!!

簡単に言えば、OPの答えの仮定に反して、クローニングは同等の実験を作成するというものです。「複数の実験」が実験を変更するのと同じように、クローニングとランダム選択は実験者の知識を変更します。クローンが2つある場合、各クローンの確率が2つの実験の確率に対応していることがわかります。無限クローンはサードパーティに収束します。しかし、それは同じ実験ではなく、同じ知識ではなく、単一の非ランダムな被験者による単一の実験とは異なります。

「無限のランダムなもの」と言うと、Axiom of Choice依存関係を言います

わかりませんが、私の集合論はそれほど素晴らしいものではありません。ただし、Nが無限大未満の場合、半分から3分の1に収束するシーケンスを確立できます。3に等しい無限の場合は、どの公理を呼び出しても、最悪の場合は真または決定不能です。

問題を変えましょう。

コインがヘッズアップすると、SBは目覚めません。

テールの場合、SBは一度目覚めます。

現在、キャンプはHalfers and Zeroersです。そして、明らかにZeroersは正しいです。

または：頭->一度目覚めた; テール-> 100万回目が覚めた。明らかに、彼女が目を覚ましていることを考えると、おそらく尾です。

（PS「新しい情報」をテーマに-情報は破壊された可能性があります。それで、別の質問は、彼女がかつて持っていた情報を失ったのですか？）

「SBが目覚めるたびに、彼女は日曜日の夜を知らなかったことをまったく学んでいません。」

これは正しくありません。これは、ハーフアー引数のエラーです。と主張するのを難しくする1つのことは、この声明に基づいている半分の議論が私が引用したものよりも厳密に表現されることはめったにないということです。

3つの問題があります。まず、引数は「新しい情報」の意味を定義しません。「もともと確率がゼロではなかったイベントは、証拠に基づいて発生することはできなかった」ことを意味するようです。第二に、この定義に適合するかどうかを確認するために日曜日に知られていることを列挙しない。正しく見ればできます。最後に、「この種の新しい情報がない場合、更新することはできません」という定理はありません。持っている場合、ベイズの定理は更新を生成します。ただし、この新しい情報がない場合、更新できないと結論付けるのは誤りです。誤fallであるということは、それが真実ではないということではなく、この証拠だけに基づいてこの結論を下すことはできないということです。

日曜日の夜に、SBが自分の想像上の6面ダイスを振ります。想像上のものなので、結果を見ることができません。しかし、目的は彼女が起きている日に一致するかどうかを確認することです。偶数は月曜日に一致し、奇数は火曜日に一致することを意味します。ただし、両方を一致させることはできないため、2日間は事実上区別されます。

SBは（つまり、日曜日に）{ヘッド/テール、月曜日/火曜日、マッチ/マッチなし}の8つの可能な組み合わせの確率を計算できるようになりました。それぞれが1/8になります。しかし、彼女が起きているとき、彼女は{Heads、Tuesday、Match}と{Heads、Tuesday、No Match}が発生しなかったことを知っています。これは、halfers引数が存在しないと言う形式の「新しい情報」を構成し、SBが研究者のコインが頭に着地する確率を更新することを可能にします。彼女の想像上のコインが実際の日に一致するかどうかは1/3です。どちらの場合も同じなので、一致するかどうかを彼女が知っているかどうかは1/3です。そして実際、彼女がダイスを振るか、転がることを想像するかどうかにかかわらず。

この余分なダイは、結果を得るために多くの作業を経なければなりません。実際、それは必要ではありませんが、理由を確認するには「新しい情報」の別の定義が必要です。更新は、前のサンプルスペースの重要な（つまり、ゼロ確率ではない独立した）イベントが、後のサンプルスペースの重要なイベントと異なる場合にいつでも発生します。このように、ベイズ定理の比率の分母は1ではありません。これは通常、証拠によってイベントの確率がゼロになる場合に発生しますが、イベントが独立しているかどうかによって証拠が変わる場合にも発生します。これは非常に非正統的な解釈ですが、ビューティーには結果を観察する複数の機会が与えられているため機能します。そして、私の想像上のダイのポイントは、日を区別して、システムを1つの確率にレンダリングすることでした。

日曜日に、SBはP（Awake、Monday、Heads）= P（Awake、Monday、Tails）= P（Awake、Tuesday、Tails）= 1/2を知っています。これらは、イベントがSBが日曜日に持っている情報に基づいて独立していないため、1/2以上になります。しかし、彼女が目覚めているとき、彼らは独立しています。ベイズの定理によると、答えは（1/2）/（1/2 + 1/2 + 1/2）= 1/3です。1より大きい分母には何も問題はありません。しかし、想像上のコインの議論は、そのような分母なしで同じことを達成するように設計されました。

私はこれを再トリップしました。その最後の投稿以来、私は自分の考えのいくつかを洗練しており、ここで彼らの受容的な聴衆を見つけるかもしれないと思った。

まず、そのような論争に対処する方法の哲学について：議論AとBが存在すると言います。それぞれに前提、一連の推論、および結果があります。結果は異なります。

1つの引数が間違っていることを証明する最良の方法は、その推論の1つを無効にすることです。ここでそれが可能であれば、論争はありません。別の方法は、前提を反証することですが、それを直接行うことはできません。なぜ信じないのかを議論することはできますが、信じられないように他の人を説得できない限り、それは何も解決しません。

前提が間接的に間違っていることを証明するには、前提から不条理または矛盾につながる推定の代替シーケンスを形成する必要があります。誤った方法は、反対の結果があなたの前提に違反すると主張することです。これは、1つが間違っていることを意味しますが、どちらが間違っているかは示していません。

+++++

半分の前提は「新しい情報なし」です。控除の順序は空です-必要ありません。Pr（Heads | Awake）= Pr（Heads）= 1/2。

サード（具体的には、エルガ）には2つの前提があります-Pr（H1 |覚醒および月曜日）= Pr（T1 |覚醒および月曜日）、およびPr（T1 |覚醒および尾）= Pr（T2 |覚醒および尾）。論争の余地のない推論は、Pr（Heads | Awake）= 1/3になります。

サードパーティは、SBが起動しているとき、新しい情報があると仮定することは決してないことに注意してください。そして、第三者の前提が間違っている理由について議論する人は誰もいません。ただし、それは半分の結果に違反することを除きます。したがって、ハーフファーは、私がリストした有効な引数のいずれも提供していません。ただの虚偽のもの。

しかし、Pr（Heads | Awake）= 1/2で始まる一連の演withでは、「新しい情報なし」から他の演ductionが可能です。1つは、Pr（Heads | Awake and Monday）= 2/3およびPr（Tails | Awake and Monday）= 1/3です。これはサードの前提と矛盾しますが、私が言ったように、それはまだ間違っている前提である可能性があるため、ハーフの原因を助けません。皮肉なことに、この結果は何かを証明しています-半分の前提がそれ自体に矛盾していること。日曜日に、SBはPr（Heads | Monday）= Pr（Tails | Monday）と言うので、「Awake」という情報を追加することで、これらの確率を更新できました。新しい情報です。

だから私は半分の前提が正しくないことを証明しました。これは、第三者が正しいことを意味するものではありませんが、ハーフマーが反対の証拠を提供していないことを意味します。

+++++

もっと説得力があると思う別の議論があります。完全にオリジナルではありませんが、適切な視点が十分に強調されているかどうかはわかりません。実験のバリエーションを考えてみましょう。SBは常に両方の日に目覚めます。通常は青く塗られた部屋にありますが、ヘッズ後の火曜日には赤に塗られた部屋にあります。彼女が青い部屋で目を覚ましている場合、ヘッズの確率は何と言いますか？

私は、それが1/3以外だと真剣に主張する人はいないと思います。彼女の現在の状況に対応する可能性のある状況は3つありますが、すべて同じように考えられ、ヘッドを含む状況は1つだけです。

顕著な点は、このバージョンとオリジナルの間に違いがないということです。彼女が「知っている」こと-彼女の「新しい情報」は、それがH2ではないということです。どのように、またはIFであれば、彼女はそれがH2である可能性があることを知っているでしょう。当てはまらないことがわかっている状況を観察する彼女の能力は、当てはまらないことがわかっている場合は無関係です。

私は半分の前提を信じることができません。彼女はH2を観察できないという事実に基づいています-彼女はそれがH2ではないことを観察することができ、実際に観察するので、それは問題ではありません。

ですから、なぜ半分の前提が無効であるかについて説得力のある議論を提供したことを願っています。途中で、サードパーティの結果が正しいに違いないことを実証しました。

可能性のある目覚めの3分の1は頭の目覚めであり、可能性のある目覚めの3分の2は尾の目覚めです。ただし、プリンセスの半分（または何でも）はヘッドプリンセスで、半分はテイルズプリンセスです。テイルズプリンセスは、個別に、また全体として、ヘッズプリンセスの2倍の目覚めを経験します。

王女の観点から、目を覚ますと、3つの可能性があります。彼女は、最初（そして唯一）に目覚めるヘッズプリンセス（）、最初に目覚めるテイルズプリンセス（）、または2回目に目覚めるテールプリンセス（）のいずれかです。これらの3つの結果が等しくなる可能性があると仮定する理由はないようです。むしろ、、およびです。$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

私はVinebergの推論を読んでいませんが、彼女が 1/3の公正な賭けにたどり着く方法を見ることができると思います。姫が目覚めるたびに、彼女はの賭けになると仮定受け、彼女は頭の王女である$彼女は確かに頭の王女である場合は1を、そして$それ以外の場合は0。その後、ヘッズプリンセスはを受け取り、テイルズプリンセスはプレイするたびにを受け取ります。Tailsプリンセスは2回プレイする必要があり、プリンセスの半分はHeadsプリンセスであるため、期待リターンはであり、適正価格はです。$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

通常、これは確率がであるという決定的な証拠になりますが、この場合、通常の推論は成り立ちません：賭けに負ける運命にある王女はゲームを2回プレイしなければなりませんが、勝つ運命にある人はそうなります一度だけプレイ！この不均衡は、確率と公平な賭けの間の通常の関係を切り離します。$1/3$

（一方で、目覚めのプロセスを支援するように割り当てられた技術者は、実際にヘッズプリンセスに割り当てられる可能性は3分の1しかありません。）

あなたが目覚めたとき、コイントスの結果はどの程度ヘッズだと信じるべきですか？

「すべき」とはどういう意味ですか？私の信念の結果は何ですか？そのような実験では、私は何も信じません。この質問にはとしてタグが付けられてdecision-theoryいますが、この実験の構想では、決定を下すインセンティブがありません。

実験をさまざまな方法で変更できるため、答えを出したいと思います。たとえば、「He​​ads」または「Tails」が原因で目が覚めたかどうかを推測し、正解ごとにキャンディを獲得します。その場合、明らかに、私は「テイル」を決定します。なぜなら、繰り返される実験では、平均して実験ごとにキャンディを1つ獲得するからです。ケースの50％で、トスは「テイル」になります。二度目を覚ますと、私は両方のキャンディを獲得します。他の50％（ "Heads"）では、私は何も獲得しません。「Heads」と答えた場合、1回の実験でキャンディを半分しか獲得できません。答えるチャンスは1回しか得られず、50％の確率で正解だからです。私が答えのために公正なコインを投げたなら、私は$3/4$

別の可能性は、私のすべての答えが正しかった各実験でキャンディーを獲得することです。その場合、どの体系的な答えを出すかは問題ではありません。平均して、実験ごとに半分のお菓子を獲得するからです。常に「Heads」に答えることを決めた場合、私は正しいでしょうケースの50％、および「テール」についても同様です。自分でコインを投げた場合にのみ、キャンディのを獲得できます。ケースの50％で研究者が「Heads」を投げ、その50％で「Heads」も投げます。私キャンディの。他の50％のケースでは、研究が「テイルス」を投げたとき、「テイルス」を2回投げなければなりませんが、$3/8$$1/4$$1/4$の場合、これは私がキャンディのだけを獲得するように。$1/8$

このパラドックスを統計的に厳密な方法でどのように解決できますか？これも可能ですか？

「統計的に厳密な方法」を定義します。信念についての質問は、実際的な関連性はありません。重要なのはアクションだけです。

質問は曖昧であり、逆説があるように見えます。質問は次のようになります。

あなたが目覚めたとき、コイントスの結果はどの程度ヘッズだと信じるべきですか？

これはこの質問と混同されています：

あなたが目覚めたとき、あなたはどの程度までヘッズがあなたが目覚めた理由だと信じるべきですか？

最初の質問では、確率は1/2です。2番目の質問、1/3。

問題は、最初の質問が述べられているが、実験の文脈では2番目の質問が暗示されていることです。潜在意識を暗黙のうちに受け入れる人は、それが1/3だと言います。質問を読んだ人は、文字通り1/2だと言っています。

混乱している人は、どの質問をしているのかわからない！

私はこの例を本当に気に入っていますが、いくつかの迷惑な気晴らしと混同する点があると主張します。

迷惑な邪魔を避けるために、議論の余地のある人は、合理的な疑いの余地なく（適切な表現として）明らかに問題を抽象化した図式表現を識別しようとする必要があります。簡単な例として、（抽象的な数学的な）長方形と、それを2つの三角形にできるという主張を考えてください。

数学的な四角形の表現としてフリーハンドの四角形を描画します（描画では、4つの角度は180度に正確に追加されず、隣接する線は正確に等しいまたは直線ではありませんが、真の四角形を表すことは間違いありません）。次に、反対側のコーナーから別のコーナーに線を引くことで操作します。他の人がそれを行うことができ、誰も合理的に疑わない2つの三角形の表現を取得します。これができるかどうかの質問はナンセンスに思えますが、そうです。

私はここにしようとしています点は、場合、あなたは同時確率分布としてSBに問題の合理的な疑い表現を超えて取得し、この表現では実験で発生したイベントに関する条件ができます-そして、何が学習されているかどうかの主張をそのイベントによって、検証可能な操作によって実証することができ、（哲学的な）議論や質問を必要としません。

今、私は私の試みをより良く提示し、読者は私が成功したかどうかを識別する必要があります。確率ツリーを使用して、実験での1日の睡眠（DSIE）、月曜日のコインフリップの結果（CFOM）、および実験での睡眠中の目覚め（WGSIE）の共同確率を表します。p（DSIE）* p（CFOM | DSIE）* p（WGSIE | DSIE、CFOM）の観点からそれを引き出します（実際にはここに書きます）。

DSIEとCFOMの可能性のある未知数とWGSIEを既知の可能性と呼び、p（DSIE、CFOM）が事前であり、p（WGSIE | DSIE、CFOM）がデータモデルまたは尤度であり、このラベルなしでベイズ定理が適用されますただ、論理的に同じものである条件付き確率。

これで、p（DSIE = Mon）+ p（DSIE = Tues）= 1およびp（DSIE = Tues）=½p（DSIE = Mon）がわかりました。

したがって、p（DSIE = Mon）= 2/3およびp（DSIE = Tues）= 1/3です。

ここで、P（CFOM = H | DSIE = Mon）= 1/2、P（CFOM = T | DSIE = Mon）= 1/2、P（CFOM = T | DSIE = Tues）= 1です。

P（WGSIE | DSIE =。、CFOM =。）は常に1です。

事前に等しい

P（DSIE = Mon、CFOM = H）= 2/3 *½= 1/3

P（DSIE = Mon、CFOM = T）= 2/3 *½= 1/3

P（DSIE =火、CFOM = T）= 1/3 * 1 = 1/3

したがって、CFOM = 1/3 Hおよび2/3 Tの限界事前分布、および実験中に睡眠中に起こされた後面は同じ（学習が発生しないため）であるため、事前分布は2/3 Tです。

OK –どこで間違ったのですか？確率論を再検討する必要がありますか？

これを簡単に説明すると、眠れる森の美女が目覚めることができる3つの方法があり、そのうちの2つはテイルストスからのものです。したがって、頭が目を覚ますたびに確率は1/3でなければなりません。私はそれをブログ投稿で概説しました

「ハーフ」の観点に対する主な議論は次のとおりです。ベイジアン的な意味で、SBは常に自分が持っている新しい情報を確認しようとしています。現実には、彼女が実験に参加することを決めた瞬間、彼女は目覚めたときにそれが数日のうちである可能性があるという追加情報を持っています。または、言い換えると、情報の不足（メモリの消去）がここで証拠を提供しているのですが、微妙に。

多くの質問と同様に、それは質問の正確な意味に依存します。

あなたが目覚めたとき、コイントスの結果はどの程度ヘッズだと信じるべきですか？

「投げられたコインがヘッズである確率」と解釈する場合、明らかに答えは「半分の確率」です。

しかし、あなたが求めているのは（私の解釈では）それではなく、「現在の目覚めがヘッズによって引き起こされた可能性はどれですか？」です。その場合、目覚めの3分の1だけが明らかにヘッズによって引き起こされているので、最も可能性の高い答えは「尾」です。

これは非常に興味深い質問です。まるで眠れる森の美女のように答えます。理解すべき重要なポイントは、実験者を100％信頼しているということです。

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

その後、（3）が同じように続きます。ただし、これが最後に目覚めていると言われるとすぐに、あなたがいることができる状況の数は2になります（現在のように、これが初めてでした目覚めさせることは不可能です）。

$m$$n$$m≤n$

具体的には、コインが「Heads」の場合、彼女は目覚めます...

$\cdots$
$\cdots$
$m$

...そしてコインが「テール」の場合、彼女は目覚めます...

$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$、または「日」。可能性のある結果「Heads」には、「」個の可能性のある結果があり、これを、、、ます。$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$：この目覚めは、「1日目」に起こっている：この目覚めは「日2」に起こっている：この目覚めは「3日目」に起こっている：この目覚めは、「一日に何が起こっている」
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

可能な結果「テール」については、上記の「」の可能な結果を含む「」の可能な結果があります。$n$$m$

$D_1$：この目覚めは、「1日目」に起こっている：この目覚めは「日2」に起こっている：この目覚めは「3日目」に起こっている：この目覚めは、「一日に何が起こっている」
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

したがって、可能性のある結果があります。コインが「ヘッド」に着弾した場合、イベント、、、も同様に発生します。したがって... また、コインが「尾」に着地すると、イベント、、、も同様に可能性があります。したがって... ここで、可能なイベントについて、は整数で$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ for、それは明らかに... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

可能性のあるイベント、、、の確率を計算しましょう$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

用 ため$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

これで、SBが起動している場合の「ヘッド」の確率を計算できます。上記のように、目覚めたときに起こりうるイベントは、、、です。したがって、確率は...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

すでに答えはありますが、特定の日に目覚めが起こっている場合の「頭」または「尾」の確率も計算しましょう

用$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

以下のための$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

これは、「1/3」の答えを信じる人にとっての答えではないことを知っています。これは、条件付き確率の単純な使用法です。したがって、この問題は曖昧であり、したがってパラドックスとは思わない。しかし、ランダム実験とそれらの実験の可能性のあるイベントがどちらであるかを明確にすることにより、読者を混乱させます。

眠れる森の美女は、彼女が以前に何回目を覚ましたかを思い出せないので、一度だけ目が覚めた場合のヘッズの確率ではなく、少なくとも一度目が覚めた場合のヘッズの確率を見ていません：

つまり、あり、ありません$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

したがって、答えは50％（ハーフマーは正しい）であり、パラドックスはありません。

人々はこれまでよりもはるかに複雑になっているようです！

非統計的に

スリーピングビューティーは、彼女のすべての相性の良さで、彼女の睡眠で仮説実験を実行できます。

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

出力：

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

だから、私たちの眠れる森の美女は、尻尾をよりよく推測すると信じています。

そして統計的に？

上記のアルゴリズムは、a statistically rigorous way何を推測するかを決定するものではありません。しかし、尾の場合、彼女は2回推測することを不明確に明らかにしているため、尾の推測は正しい推測である可能性が2倍になります。これは、実験の操作手順に従っています。

頻度の高い確率

Frequentist Probabilityは、Fisher、Neyman、および（Egon）Pearsonの理論に基づく統計の概念です。

頻度論的確率の基本的な概念は、実験の操作を、少なくとも仮説的には無限に繰り返すことができるということです。このような各操作は、結果つながります。$n$$E_{n}$

結果の頻度論的確率は、として定義され$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

これはまさに眠れる森の美女が彼女の頭の中でやったことです。もしがHEADSを推測しているときに正しいイベントであるなら、は収束します。$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

そして彼女は信じている？

そのため、彼女が推論でようやくここに到着したとき、彼女は彼女の信念に基づいた統計的に厳密な根拠を持っています。しかし、彼女が最終的にそれらをどのように形作るかは、本当に彼女の精神に依存します。

私は自分の主張を説明する新しい方法と、1/2の答えの何が間違っているのかを考えました。同じコインフリップを使用して、2つのバージョンの実験を同時に実行します。1つのバージョンは元のバージョンとまったく同じです。もう1つは、3人（または4人-重要ではありません）のボランティアが必要です。それぞれに、Heads-or-TailsとMonday-or-Tuesdayの異なる組み合わせが割り当てられます（3人のボランティアのみを使用する場合、Heads + Tuesdayの組み合わせは省略されます）。それらにそれぞれHM、HT、TM、TTのラベルを付けます（HTを省略します）。

2番目のバージョンのボランティアがこの方法で目覚めた場合、彼女は同様にHM、TM、またはTTのラベルが付けられていた可能性があることを知っています。言い換えれば、彼女が目覚めていることを考えると、彼女がHMとラベル付けされた確率は1/3です。コインフリップと日はこの割り当てに対応しているため、P（Heads | Awake）= 1/3と簡単に推測できます。

最初のバージョンのボランティアは、2回以上目が覚める可能性があります。しかし、「今日」はこれら2つの可能な日のうちの1つにすぎないため、彼女が目覚めているとき、彼女は2番目のバージョンの目覚めているボランティアとまったく同じ情報を持っています。彼女は、現在の状況が1に適用されるラベルに対応させることができることを知っている、そして唯一の、他のボランティアの。つまり、彼女は「HM、HT、またはTTのいずれかのラベルが付いたボランティアも覚醒しています。それぞれが同様に発生する可能性があるため、HMである1/3の確率と、コインが上陸する1/3の確率があります」しっぽ。」

人々が間違いを犯す理由は、「実験中にいつか起きている」と「今起きている」を混同するためです。1/2答えは、どちらかのHM同士でしか起きボランティアは」自分自身に言って、元のSBから来NOW、またはTMとTTはBOTH目を覚まし、実験中SOMETIMEそれぞれの状況も同様に可能性があるので、1/2チャンスがあります。それはHMであり、コインが1/2の確率でテールに着地しました。」目が覚めているのは他の1人のボランティアだけなので、これは間違いです。

統計的に厳密な答えを出すのではなく、私は質問をわずかに修正して、直感が彼らをハーフマーに導く人々を納得させるような方法でやりたいと思います。

一部の研究者は、あなたを眠らせたいと思っています。公正なコインの秘密のトスに応じて、彼らはあなたを一度目覚めさせます（頭）か、九百九十九回目（尾）。それぞれの目覚めの後、彼らはあなたがその目覚めを忘れさせる薬であなたを眠りに戻すでしょう。

あなたが目覚めたとき、コイントスの結果はヘッズだったという信念をどの程度持っているべきですか？

前と同じロジックに従って、2つのキャンプがある可能性があります-

• Halfers-コイントスは公平で、SBはこれを知っているので、頭の半分のチャンスがあると信じるべきです。
• サウザンダー -実験が何度も繰り返された場合、コイントスは1000回に1回しか頭にならないので、彼女は頭のチャンスが1000回に1回であると信じるべきです。

元々の言葉のように、質問の混乱の一部は、半分と3分の1の間に大きな違いがないからだと信じています。人は自然に確率をやや曖昧な概念と考えます（特に確率が頻度ではなく信念の程度である場合）。半分と3分の1の信念の程度の違いを直観するのは困難です。

ただし、半分と1000分の1の違いは、より内臓的です。私は、この問題に対する答えが半分ではなく、1000分の1であることはより多くの人々にとって直感的に明白になると主張しています。「ハーフファー」が代わりにこのバージョンの問題を使用して彼らの議論を擁護するのを見るのが興味があるでしょう。

眠れる森の美女が頭か尾のどちらかを言わなければならないなら、彼女は尾を選ぶことによって、彼女の予想される0-1損失関数を最小化するでしょう（毎日評価されます）。ただし、0-1の損失関数が各試行のみで評価された場合、ヘッドまたはテールのどちらも同様に良好です。

サードが勝つ

コインの代わりに、公平なサイコロを想定します。

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

彼らが彼女に尋ねるたびに、「サイコロの結果が1だったとあなたはどの程度信じるべきですか？」

ハーフは、サイコロの確率= 1が1/6である と言います。サードは、サイコロ= 1の確率が1/21であると言います

しかし、シミュレーションは明らかに問題を解決します：

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

また、トス問題をシミュレートできます

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

明らかなパラドックスは、確率は絶対的であるという誤った前提から派生しています。実際、確率はカウントされるイベントの定義に関連しています。

これは、機械学習のために理解する重要なポイントです。次のようなモデルによってモデル化された要因（さまざまな時点での文字の確率、）に分解することにより、何かの確率（たとえば、音声が与えられた文字起こし）を計算できます。見えない全体のオーディオではなく、それの瞬間に（それは計算）。定義が異なるため、はと等しくなります。異なるPを同じ式に入れることはできませんが、慎重な分析により、2つのドメイン間で変換することができます。$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

P（Heads）= 1/2 wrtの世界（または誕生）、およびP（Heads）= 1/3 wrtの瞬間（または覚醒）は両方とも真ですが、スリープ状態になった後、Sleeping Beautyは瞬間に関する確率のみを計算できます彼女は自分の記憶が消去されることを知っているからです。（寝る前に、彼女は世界に関してそれを計算するでしょう。）

エラーは「第三者」によるものだと思います。この理由は、「目覚め」の可能性が等しくないことです。目が覚めると、目が覚めたのは「初めて」である可能性が高いです実際にチャンスの割合。

これは、「3つの結果」（heads1、tails1、tails2）を均等にカウントできないことを意味します。

これは場合でもあると思いますここで、はSBが起こされるという命題です。何かを2回真実だと言うのは、1回言ったのと同じことです。SBは、以前の予測がだったため、新しいデータは提供されていません。それを置く他の方法は、およびです。これは、意味します$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

数学は@ pit847の回答に明確に示されているので、私はそれを繰り返しません。

しかし、各目覚めの結果を推測するためにドルを賭けるという点で、あなたが正しければドルが与えられます。この場合、この結果は「加重」されるため、常にテールを推測する必要があります。コインがテールの場合、2回ベットします。ヘッドが と推測される場合、期待利益（この呼び出します） テールを推測するために $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

そのため、テールを推測することにより、平均で余分なが得られます。「フェアベット」額は$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

上記を繰り返し、半分ではなく3番目を使用すると、および。そのため、テールを推測する方が優れた戦略です。また、「フェアベット」額は$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

これで、「サードパーティ」はベットする必要があると言えます。しかし、「ハーフ」はこの賭けをしません。@Ytsen de Boerには、テストできるシミュレーションがあります。我々は持っている頭とそうテールがあなたを与えるだろう賭け、尾を獲得した賭けインチ しかし... これを得るために回プレイしなければなりませんでした（これは純損失です）。また、これは実際にテールをベットするためのわずかに好ましい結果であることに注意してください。$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

眠れる森の美女が目覚めたとき、彼女は知っている：

結果を出すために、公正なコインが投げられました。もしこれは唯一の後続の覚醒です。そしてあれば、これは二つの連続覚醒の一つです。$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

この情報を呼びます。彼女の質問に関連するものは他にありません。$\mathcal{I}$

何が$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

これは、確率を推測するのではなく、確率を割り当てる問題です。場合覚醒の数であり、その後と等価である $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

論理的に

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

Sleeping Beautyにはこれ以上の情報はありません。不十分な理由の原則により、彼女は確率を各選言に割り当てる義務があります。したがって、。$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

ちょっと考えてみると、「公平なコイン」とは、コインフリップの結果にまたは 2つの可能性があることを意味するものと解釈される場合、前述の答えが当てはまります。しかし、おそらく「フェアコイン」というフレーズのより忠実な解釈は、直接指定することです。答えは問題文に記載されています。$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

確率がしなければならないものですので、私の見解では、しかし、この種の文は、技術的に許容できないです働いた先行詞とその結果としての提案から。「公正なコインの秘密のトス」というフレーズは、「眠れる森の美女はそれが公正であることをどのように知っているのか」という疑問を提起します。彼女はそれを確立するためにどのような情報を持っていますか？通常、理想的なコインの公平性は、情報的に同等の2つの可能性があるという事実から算出されます。コインフリップが目覚め要因と混同されると、情報的に同等の3つの可能性が得られます。これは本質的に3面の理想的なコインであるため、上記のソリューションに到達します。

パーティーに遅れて、私は知っています。

この質問はMonty Hallの問題と非常に似ています。MontyHallの問題では、3つのドアのどれが賞品かを推測するように求められます。ドア1番を選択したとします。次に、プレゼンター（賞品がどこにあるかを知っている）はドア3をゲームから削除し、ドア1からドア2に推測を切り替えるか、最初の推測に固執するかを尋ねます。話は続きます。賞品がドアNo2にある可能性が高いため、常に切り替える必要があります。通常、人々はこの時点で混乱し、どちらかのドアに賞品が入る確率はまだ1/3であると指摘します。しかし、それはポイントではありません。問題は、初期確率が何であったかではありません、本当の問題は、最初の推測が正しかった可能性は何であるか、それに対してあなたがそれを間違えた可能性は何であるかです。その場合、間違った可能性は2/3であるため、切り替える必要があります。

モンティホールの問題と同様に、3つのドアを100万のドアにすると、事態は非常に明確になります。100万個のドアがあり、Door No1を選択し、プレゼンターが300〜100万個のドアを閉じて、Doors No1とDoors No2だけを使用している場合、切り替えますか？もちろんそうです！最初にドアNo1を正しく選択した可能性は100万分の1でした。たぶんあなたはそうしなかった。

言い換えると、推論の誤りは、アクションを実行する確率がアクションが実行された確率に等しいと信じることから生じます。2つの間のコンテキストがそれらを同等のステートメントにしない場合。異なる言い方をすると、問題の文脈と状況に応じて、「正しく選択する」確率は「正しく選択した」確率と同じではない場合があります。

眠れる森の美女の問題も同様です。あなたが尾の場合に2回目覚めていなかったが、100万回目だったら、「私が今経験しているこの目覚めは、はるかに真ん中にある可能性が高い」と言う方が理にかなっています私がたまたまヘッズから生じたその単一の目覚めにぶつかったよりも、テイルススローからの百万の目覚めの連なり」。それが公正なコインであるという議論は、ここでは何の関係もありません。公正なコインは、頭を「投げる」可能性、つまり、そのコインを最初に投げたときに一度目を覚まさなければならない確率を百万回だけ示すだけです。したがって、実験の前にSBに各スローの前に1回寝るか100万回寝るかを選択するように依頼すると、彼女が「正しく選択する」確率は50％です。

しかし、その時点から、連続した実験を想定し、SBが現在どの実験にいるのかがわからないという事実から、目覚めた時点で、「投げられた」ヘッズを持つ確率ははるかに低くなります。 1つの目覚めからではなく、100万の目覚めのうちの1つから目が覚めます。

これは、問題のフレージングに従って、連続した実験を意味することに注意してください。実験の最初からSBが単一の実験（つまり、たった1つのたった1つのコスス）しかないと確信した場合、彼女の信念は50％に戻ります。今まで何回も無関係になります。言い換えれば、この文脈では、「正しく選択する」確率と「正しく選択した」確率が再び等しくなります。

また、「ベット」を使用した言い直しも、コンテキストを完全に変更する別の質問であることに注意してください。たとえば、1回の実験でも、正しく推測するたびにお金を稼ぐとしたら、明らかに後を追うことになります。しかし、これは期待される報酬が高いためであり、尾の確率が頭と異なるためではありません。したがって、賭けを導入する「解決策」は、非常に特定の解釈に問題を崩壊させる範囲でのみ有効です。

SBがスリープ状態になる前に、彼女は次のコインフリップがヘッドになる確率は1/2だと考えています。彼女は目覚めた後、最新のコインフリップがヘッドだった可能性は1/3であると考えています。覚醒とコインフリップの間には1対1の対応がないため、これらのイベントは同じものではありません。

次の解決策はどうですか：

問題は、コインが「頭」に浮かぶ確率を評価することです。したがって、眠れる森の美女が月曜日に目が覚め、その日を知っていれば、彼女は実際に「頭」の確率が50％であると信じなければなりません。

しかし、彼女が火曜日に目が覚め、その日のことを知っていたら、コインが頭に浮かぶ確率はゼロだったでしょう。

したがって、その日の知識は、「頭」の確率を変える重要な情報を追加します。

しかし、眠れる森の美女は、彼女が目覚めた日を知りません。したがって、それぞれ月曜日または火曜日に目覚める確率を決定する必要があります。

まず、火曜日になる可能性を考えてみましょう。実験者がコインをひっくり返すと、結果は、彼が従う実験のシナリオを決定します。ヘッドの場合、SBは月曜日にのみ起動されます。尻尾の場合、月曜日と火曜日の両方で目が覚めます。これらのパスのいずれかをとる実験の確率は、明らかに50/50です。ここで、「2覚醒」ブランチにいる場合、SBが起動する火曜日または月曜日である確率は両方とも50％です。したがって、SBが起動する火曜日である確率の合計を0.5 * 0.5 = 0.25として計算できます。明らかに、彼女が目を覚ます月曜日である確率は1-0.25 = 0.75です

SBが火曜日に目が覚めたことを知っていた場合、コインが「頭」に浮かぶ確率はゼロでした。

しかし、彼女が月曜日に目が覚めたことを知っていれば、コインが「頭」に浮かぶ確率は50％だったでしょう。しかし、月曜日になる確率は0.75であることがわかっています。そのため、コインが「ヘッド」になった確率を見つけるには、0.75 * 0.5 = 0.375を掛ける必要があります

したがって、答えは、コインが「頭」に浮かんだ確率は37.5％です

上記は単なる提案です。私の推論に欠陥がある場合は、指摘してください。