指数ファミリーの利点：なぜそれを研究して使用する必要があるのですか？

だからここで推論を勉強しています。誰かが指数関数ファミリーの利点を列挙できるようにしたいと思います。指数族とは、f （x | θ ）= h （x ）exp { η （θ ）T （x ）− B （θ ）}として与えられる分布を意味します 。

そのサポートはパラメータ$\theta$依存しません。私が見つけたいくつかの利点は次のとおりです。

（a）多種多様なディストリビューションが組み込まれています。

（b）ネイマン・フィッシャーの定理に従って、自然な十分な統計$T(x)$提供します。

（c）$T(x)$モーメント生成関数の素晴らしい式を提供することができます。

（d）応答と予測子の関係を、応答の条件付き分布から（リンク関数を介して）簡単に分離できます。

誰でも他の利点を提供できますか？

...なぜ調査して使用する必要があるのですか？

あなたの利点のリストはあなた自身の質問に効果的に答えると思いますが、このトピックを明らかにするかもしれないメタ数学的な解説をいくつか提供します。一般的に、数学者は概念と結果を可能な限り最大限に、有用性の限界まで一般化することを好む。つまり、数学者が概念を開発し、1つまたは複数の有用な定理がその概念に適用されることに気付いた場合、一般的に概念と結果をますます一般化して、さらに一般化すると結果が適用できなくなるまでになります。またはもう役に立たない。リストからわかるように、指数関数族には多くの有用な定理が付いており、幅広い種類の分布を網羅しています。これは、それを研究の価値ある対象にし、実際の有用な数学的クラスにするのに十分です。

誰でも他の利点を提供できますか？

このクラスには、ベイジアン分析でさまざまな優れた特性があります。特に、指数族分布は常に共役事前分布を持ち、結果として得られる事後予測分布は単純な形をしています。これは、ベイジアン統計の分布の非常に有用なクラスです。実際、指数関数族のすべての分布族を網羅する非常に高いレベルの一般性で共役事前分布を使用してベイズ分析を行うことができます。

指数族の最も説得力のある動機は、それらが測定値が与えられた最小の仮定的分布であると言うでしょう。測定値が平均と分散によって要約されている実数値センサーがある場合、その観測に関して行うことができる最小の仮定は、それらが正規分布しているということです。各指数ファミリは、同様の一連の仮定の結果です。

ジェインズは、最大エントロピーのこの原則を無視しています。

「最大エントロピー分布は、他に考える理由がないネガティブな情報ではなく、欠落した情報に関して最大​​限に非コミットであるものとして一意に決定されるというポジティブな理由で主張される場合があります。したがって、エントロピーの概念は、欠けている選択基準を提供します…」