定常系列の絶対値も定常ですか？

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（弱い）定常過程から生じる時系列の線形変換も定常であることを知っています。しかし、これは各要素の絶対値を取ることによる系列の変換にも当てはまりますか？つまり、が静止している場合、静止していますか？ $\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$ $\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

time-series data-transformation stationarity

— アーサー・カンペッロ
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1

用語に関する注意：私にとって定常とは、すべての有限次元分布がシフト不変であることを意味します。この定義では、答えは明らかに「はい」です。有限次元分布の平均と共分散のみがシフト不変である（つまり、私が「弱い定常」と呼んだものである）場合、@ Yvesの答えが示すように、答えは明らかにノーです。| X |を期待する理由はありません。XとX ^ 2によって制御されます。FransRodenburgのように「弱い定常性」によって平均のみが不変であることを意味する場合は、用語を変更する必要があります。

— バナナッチ

6

ある特定のケースでは、これはいくぶん当てはまります。

時系列が定常分布エラーで定常的である場合、元の時系列の絶対値は定常的な折りたたまれた正規分布に従います。定常性が弱い場合でも、平均と分散の両方が時間とともに一定であるため、絶対値も一定です。他の分布の場合、これは、元の値の一定の分散が新しい値の一定の平均に変換されるため、元の時系列の絶対値が少なくとも弱く静止していることを意味します。

ただし、元の時系列に一定の平均しかない場合、時間の経過とともに分散が変化し、絶対値の平均に影響を与える可能性があります。したがって、絶対値自体は（弱く）固定されません。

より一般的な答えは、確率変数の絶対値のモーメント生成関数の研究が必要です。おそらく、より数学的なバックグラウンドを持つ誰かがそれに答えることができます。

— Frans Rodenburg
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1

弱く定常的な時系列では、分散は時間の経過とともに変化しません。それは定数です。そのため、その文で説明しているのが元の時系列の分散なのか、絶対値の分散なのかを明確にしてください。

— Dilip Sarwate

@DilipSarwateそうです、私は用語を混乱させ、それに応じて私の答えを編集しました。

— Frans Rodenburg 2019年

3

ましょうである時系列値上の離散ランダム変数取って等しい確率で。それは容易に検証される及びなので、プロセスは弱く定常的です。と、から、それは明らかに厳密に静止していません $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $X_n$ $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ $\frac 14$ $E[X_n] = 0$

\begin{aligned} E [X_{m} X_{m + n}] & = \frac{1}{4} [\cos (m) \cos (m + n) + 罪 （ メートル ） 罪 （ メートル + ん ） \\ = + （ - \cos （ メートル ） ） （ - \cos （ メートル + ん ） ） + （ - 罪 （ メートル ） ） （ - 罪 （ メートル + ん ） ）] \\ = \frac{1}{2} [\cos （ メートル ） \cos （ メートル + ん ） + 罪 （ メートル ） 罪 （ メートル + ん ）] \\ = \frac{1}{2} \cos （ ん ） \end{aligned}

$\begin{align}E[X_mX_{m+n}] &= \frac 14\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\\ &= ~~~~~ + (-\cos(m))(-\cos(m+n))+(-\sin(m))(-\sin(m+n))\bigg]\\ &= \frac 12\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\bigg]\\ &= \frac 12\,\cos(n)\end{align}$

X_{0}

$X_0$

X_{n}

$X_n$

n \neq 0

$n\neq 0$ 異なる値を取るため、と分布は、厳密な定常性のために必要な（他の多くの要件とともに）同じではなく、異なります。

X_{n}

$X_n$

X_{m}

$X_m$

上記の弱い定常プロセスの場合、ため、プロセスは弱く定常的ではありません、弱い定常性のために必要とされるように一定ではない（それもある自己相関関数は事実でありますのみの関数）。 $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$ $E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ $n$

一方、メインの質問のコメントで@bananachが指摘しているように、定常性が厳密な定常性として解釈される場合、厳密な定常性は、意味しますも厳密に定常的なプロセスです。有限分散の厳密に定常的なプロセスも弱く定常的なプロセスであるため、このサブクラスの場合、弱い定常性は弱い定常性を意味します。しかし、この回答の最初の部分で説明したように、弱い定常性を常に結論付けることはできません $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ 弱い定常性を意味します。 $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$

— ディリップ・サルワテ
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2

答えはノーだ。これは、独立したr.vsのシーケンスを検討することで確認できます。は、3つのパラメーターに応じてパラメトリックファミリーで取られた周辺分布を持ちます。一般的な例として、最初の2つのモーメントと絶対モーメントを使用して再パラメーター化できる分布を考えることができます。その後、最初の2つのパラメーターを一定に保ち、3番目のは依存します。 $X_i$ $\mathbb{E}[|X|]$ $\mathbb{E}[|X_i|]$ $i$

具体的な例として、をサポートする離散分布を取り上げます。3つのモーメント、およびは、4つの確率の線形結合として表現し。3つの線形の組み合わせは線形に独立しているため、3つのモーメントを使用して、必要に応じてパラメーターを再設定できます。 $\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$ $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[X^2]$ $\mathbb{E}[|X|]$ $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$

— イヴ
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E | X | E [| X |]ではなく。

— 累積

自己共分散が一定であることをどのように保証できるかはわかりません。

— 累積

はい、どちらも有効ですが、2番目の表記を使用する方が明確な場合があります。

— イブ

以来独立しているので、あるしたがって、それらの自己共分散はゼロです。

X_{i}

$X_i$

| X_{i} |

$|X_i|$

— イブ

2

他のいくつかが示したように、時系列の絶対値を取る場合、弱い定常性は必ずしも残っていません。これは、時系列の各要素の絶対値を取ると、基になる値の分布の違いにより、平均と分散が不均一に変化する可能性があるためです。弱い定常性はこのように転送されませんが、強い定常性 が絶対値変換の下に留まることは何の価値もありません。

— ベン-モニカの復活
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