Yの密度=ガンマ分布Xのlog（X）

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ランダム変数、を定義するとします。確率密度関数を見つけたいのですが。 $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

私は当初、累積分布関数Xを定義し、変数を変更し、積分の「内側」を密度として取ると思っていました。

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

ここでは、と、と定義に観点からsubを使用しています。 $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

残念ながら、出力は1に統合されません。間違いがどこにあるのかわかりません。誰かが私のエラーの場所を教えてもらえますか？

pdf gamma-distribution

— ダックワースド
ソース

cdfを使用する場合、被積分関数を最初の積分から2番目の積分に変更しないでください。あなたの間違いは、cdfとヤコビアンの両方のアプローチを同時に使用することです。

— 西安

インジケーターで密度を書き込んで、明確な図を作成します。

もし、次いで $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

もし、反転し、、次いで、、およびCDFは定義から取得されます $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— 禅
ソース

これは良い答えですが、元の質問と同じ方法でガンマ分布をパラメータ化する必要があるかもしれません。

— 通常の

良い点、マックス。できました。

— Zen

おっと、私自身の定義にはバグがありました。必要があります。

α = k

$\alpha = k$

— duckworthd