打ち切られた法線の期待値の計算

ミル比の結果を使用して、とすると、 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

$E(X| X<\alpha) = \mu - \sigma\frac{\phi(\frac{a- \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}$

ただし、Rで計算すると、正しい結果が得られません。

> mu <- 1
> sigma <- 2 
> a <- 3 
> x <- rnorm(1000000, mu, sigma) 
> x <- x[x < a] 
> mean(x)
[1] 0.4254786
> 
> mu -  sigma * dnorm(a, mu, sigma) / pnorm(a, mu, sigma)
[1] 0.7124

何が悪いのですか？

— コゾロフスカ
ソース

ため、数式の実装は間違っていますご覧のとおり、追加のの分母で、収率：メソッドはを提供します。ここでを乗算してを取得する必要があります。あなた以来、これは実用的である、再び第二項を差し引くを介して行うことができます

ϕ (\frac{x - μ}{σ}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} \neq f_{X, μ, σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}

$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\neq f_{X,\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

σ

$\sigma$

f_{X, μ, σ} (x)

$f_{X,\mu,\sigma}(x)$

ϕ (\frac{x - μ}{σ}) = σ f_{X, μ, σ} (x)

$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\sigma f_{X,\mu,\sigma}(x)$ dnorm

f_{X, μ, σ} (x)

$f_{X,\mu,\sigma}(x)$

σ

$\sigma$

ϕ

$\phi$

σ = 2

$\sigma=2$

1 - 0.7124 = 0.2876

$1-0.7124=0.2876$ ：これは見積もりに近い値です。

1 - 0.2876 - 0.2876 = 0.4247

$1-0.2876-0.2876=0.4247$

— Gunes
ソース