線形回帰で、なぜ生の最小二乗残差が不均一になるのですか？

異分散性の検出に関する回帰コースに関する私のコースノートでは、次の引用があります。

「最小二乗残差は、等分散性の場合でも不均等な分散を持っているため、標準化された残差を使用することが望ましいです。」

私の直感は、LS回帰直線は必ずデータクラウドの中心を通るので、尾よりも共変量空間の中央の点により適しているため、極端な分散が大きくなることを教えてくれます。

これにもかかわらず、これはそれが必要であるとは思われません。それと同時に、標準化された、またはスチューデント化された残差の等分散性を考慮し、生の残差を考慮しないのはなぜですか。

一定の分散持つ通常の線形モデルを想定しています。レバレッジとレバレッジポイントの効果の表記（およびいくつかの結果）を使用します。行列形式の線形モデルは 。は iidエラー項のベクトルです。次に、ハット行列はであり、その対角項はてこです。残差の分散がことを示すことができます（思い出してください。） $\sigma^2$

$$Y= X\beta + \epsilon$$ $\epsilon$$n$$H=X(X^TX)^{-1}X^T$ $h_{ii}$$e_i = y_i-\hat{y_i}$$\sigma^2 (1-h_{ii})$$0<h_{ii}<1$

したがって、このモデルでは、定数分散残差を取得するために、定義される標準化された残差分散は一定です。そのため、残差分析の多くの用途では、たとえば一定の分散の仮定をチェックする場合などに、この標準化された残差を使用します。$\sqrt{1-h_{ii}}$$r_i=\frac{y_i-\hat{y}_i}{\sqrt{1-h_{ii}}}$

EDIT

コメントでOPは書きます：

私の知る限り、正式な仮定は「標準化された残差の同等分散性」ではなく、残差自体だけです。

これにより、エラーと残差が混同されます。エラーは、回帰方程式の観測されていないですが、残差は観測値とモデル予測の間の観測された差です。Homoskedastcityは、残差が一定の分散を持っているのではなく、すべての誤差が同じ分散を持っていることを意味します。残差を使用して定数分散の仮定をテスト/評価する場合は、（モデルの下で）定数分散を持つバージョンの残差を使用することをお勧めします。$\epsilon_i$$y_i =\beta_0 +\sum_i \beta_i x_i +\epsilon_i$

3つの値があるとします：$x$$-1,0, +1.$

対応する従属変数は、ランダム性がある場所です。$Y_1,Y_2,Y_3$

今絵を描きます。を上下に動かすと、フィットした線が上下に動く理由がわかります。（ちょうどすることでと同じくらい移動します。）しかし、あなたが移動すると何が起こるアップまたはダウン？フィットしたラインは上下に移動するだけではありません。傾斜も大きくなったり小さくなったりします。または、を上下に移動すると、それぞれ勾配が小さくなったり大きくなったりします。ラインは、データポイントの時に近いデータポイントに滞在するより傾向があるように、 -値が平均から遠い、それは平均に近いときより-値 -値を。したがって、値が平均値から離れている場合、観測された残差の分散は小さくなります。$Y_2$$1/3$$Y_2$$Y_3$$Y_1$$x$$x$$x$$x$$x$場合より-value -値が近い平均値である -value。$x$$x$

適合値は、 したがって、残差は これから、残差の分散を計算できます。

$$\begin{align} & \left(\widehat Y_1, \widehat Y_2, \widehat Y_3\right) \\[5pt] = {} & \left( \tfrac 2 3 Y_1+ \tfrac 1 3 Y_2, \,\,\, \tfrac 1 3 (Y_1+Y_2 + Y_3), \,\,\, \tfrac 1 3 Y_2 + \tfrac 2 3 Y_3 \right). \end{align}$$ $$\begin{align} & \left( Y_1, Y_2, Y_3 \right) - \left(\widehat Y_1, \widehat Y_2, \widehat Y_3\right) \\[5pt] = {} & \left( \tfrac 1 3 Y_1 - \tfrac 1 3 Y_2, \,\,\, -\tfrac 2 3 Y_1+ \tfrac 2 3 Y_2 - \tfrac 2 3 Y_3, \,\,\, -\tfrac 1 3 Y_2 + \tfrac 1 3 Y_3 \right). \end{align}$$