「BにAが与えられる可能性が高い」場合、「AにBが与えられる可能性が高い」

私は背後にあるより明確な直感を得ようとしています：「$A$が$B$より可能にするなら、$B$は$A$より可能にする」すなわち

ましょ$n(S)$する空間の大きさ示す$A$及び$B$、その後、あるを

主張：$P(B|A)>P(B)$ so $n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

so $n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

これは$P(A|B)>P(A)$

私は数学を理解していますが、なぜこれが直感的に理解できるのですか？

直感的には、ピーター・フロムのような実世界の例は、一部の人々にとって最も役立ちます。一般的に人々を助けるもう1つのことは写真です。だから、ほとんどの拠点をカバーするために、いくつかの写真を持っています。

ここにあるのは、確率を示す2つの非常に基本的な図です。最初は、RedとPlainと呼ぶ2つの独立した述語を示しています。ラインが揃っているので独立しているのは明らかです。赤のプレーンエリアの比率は、赤のストライプエリアの比率と同じであり、赤の合計比率と同じです。

2番目の画像には、独立していない分布があります。具体的には、赤であるという事実を変更せずに、真っ赤な領域の一部をストライプ領域に拡大しました。明らかに、赤であることは明白になる可能性が高くなります。

一方、その画像の平野を見てください。明らかに、赤であるプレーンな領域の割合は、赤である画像全体の割合よりも大きいです。それは、平野地域がより多くのエリアを与えられており、そのすべてが赤であるからです。

したがって、赤はプレーンをより可能にし、プレーンはレッドをより可能にします。

ここで実際に何が起こっていますか？AとBの両方を含む領域が独立している場合に予測されるよりも大きい場合、AはBの証拠です（つまり、AはBを作成する可能性が高くなります）。AとBの交差はBとAの交差と同じであるため、BがAの証拠であることも意味します。

注意点：上記の議論は非常に対称的であるように見えますが、両方向の証拠の強さが等しい場合はそうではないかもしれません。たとえば、この3番目の画像について考えます。 ここでも同じことが起こりました：真っ赤な赤は、以前は赤に属していた領域を食い尽くしてきました。実際、それは完全に仕事を終えました！

完全に赤い点は、縞模様の赤い領域が残っていないため、単純さを保証することに注意してください。ただし、まだ緑の領域が残っているため、単純な点が赤みを保証するわけではありません。それでも、ボックス内の点がプレーンであると、赤になる可能性が高くなり、赤であると、プレーンになる可能性が高くなります。どちらの方向も同じ量ではなく、より可能性が高いことを意味します。

それを置く別の数学的方法が役立つと思います。ベイズのルールの文脈での主張を検討してください：

主張：$P(B|A)>P(B)$場合、$P(A|B) > P(A)$

ベイズの法則：

$P(B)$ゼロでないと仮定します。したがって

もし $P(B|A)>P(B)$、その後、$\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$。

次に$\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$、つまり$P(A|B) > P(A)$。

これは主張とより強力な結論を証明します-可能性のそれぞれの比率は等しくなければならないということです。

さて、私は質問で「作る」という言葉が好きではありません。それはある種の因果関係を意味し、因果関係は通常逆転しません。

しかし、あなたは直感を求めました。それで、直感を刺激するように見えるので、いくつかの例について考えます。お好きなものを1つ選択してください。

人が女性の場合、その人が民主党に投票した可能性が高くなります。
人が民主党に投票した場合、その人は女性である可能性が高くなります。

男性がプロのバスケットボールセンターの場合、身長が2メートルを超える可能性が高くなります。
男性の身長が2メートルを超える場合、バスケットボールセンターである可能性が高くなります。

摂氏40度を超えると、停電が発生する可能性が高くなります。
停電があった場合は、40度を超えている可能性が高くなります。

等々。

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$

$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$$\P(B \mid A) > \P(B)$$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$$A$$B$$A$$B$$\P(A \mid B) > \P(A)$$\eta(A,B)$$A$$B$

@gunesの答えは実際的な例を示したので、他の人を同じようにするのは簡単です。

AがBの可能性を高める場合、これはイベントが何らかの形で関連していることを意味します。この関係は双方向に作用します。

AがBを作成する可能性が高い場合、これはAとBが一緒に発生する傾向があることを意味します。これは、BもAをより可能にすることを意味します。

AがBを作成する可能性が高い場合、AはBが自分自身について推測できる重要な情報を持っています。同じ量ではないかもしれないという事実にもかかわらず、その情報は逆に失われることはありません。最終的に、2つのイベントが発生し、お互いにサポートし合うようになります。Aが発生するとBの可能性が高くなり、Bが発生するとAの可能性が低くなるシナリオは想像できません。たとえば、雨が降ると、床が濡れる可能性が高く、床が雨が降ったという意味ではありませんが、雨が降る可能性はありません。

分割表を想像することで、数学をより直観的にすることができます。

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

• $A$$B$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$$ $P (A) = P (A|B)$$P (B)=P (B|A)$

• 独立性がない場合、パラメータことがわかります。$a,b,c,d$$\pm z$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$$

  $z$

  $P(A|B) \neq P(A)$$P(B|A) \neq P(B)$$>$$z$$<$$z$

$P(A|B) > P(A)$$P(B|A) > P(B)$$P(B,A) > P (A) P (B)$

AとBがしばしば一緒に発生する場合（結合確率が高い場合は、限界確率の積）、一方を観察すると、もう一方の（条件付き）確率が高くなります。

イベントの事後確率確率を次のように表すとします。

次に、ベイズの定理の代替表現（この関連する投稿を参照）は次のとおりです。

$^\dagger$$B$$A$$A$$B$

$^\dagger$$A$$B$$\text{do}$

サムは女性でキムは男性で、2人のうち1人は化粧をし、もう1人はしていません。誰がメイクをしていると思いますか？

サムは化粧をしてキムは化粧をしないと言われ、2人のうち1人は男性、1人は女性です。その女性は誰だと思いますか？

因果関係と相関関係にはいくつかの混乱があるようです。実際、次のような例からわかるように、質問文は因果関係については偽です。

• 犬がスカーフを着ている場合、飼いならされた動物です。

以下は当てはまりません。

• 飼いならされた動物がスカーフを着ているのを見ると、それが犬であることを意味します。
• 飼いならされた犬を見ることはそれがスカーフを着ていることを意味します。

ただし、確率（相関）を考えている場合は、そのとおりです。

• スカーフを着用している犬は、スカーフを着用していない犬（または一般的には動物）よりも飼いならされた動物である可能性がはるかに高い

次のことが当てはまります。

• スカーフを身に着けている飼いならされた動物は、他の動物よりも犬である可能性が高いです。
• 飼いならされた犬は飼い慣らされていない犬よりもスカーフを着ている可能性が高いです。

これが直感的でない場合は、アリ、犬、猫などの動物のプールを考えてください。犬と猫は飼いならされ、スカーフを身に着けることができ、アリはどちらもできません。

1. プールで飼いならされた動物の確率を上げると、動物がスカーフを着ているのを見る機会も増えることになります。
2. 猫か犬の確率を上げると、動物がスカーフを着ているのを見る確率も上がります。

飼いならされていることは、動物とスカーフを着用することの間の「秘密の」つながりであり、その「秘密の」つながりはその影響を両方の方法で発揮します。

編集：コメントで質問の例を挙げます：

動物が猫か犬である世界を想像してみてください。それらは家畜化されたものかそうでないものかのどちらかです。彼らはスカーフを着用してもしなくてもかまいません。合計100匹の動物、50匹の犬と50匹の猫がいると想像してください。

ここで、ステートメントAを次のように考えます。「スカーフを着用している犬は、スカーフを着用していない犬よりも3倍飼い慣らされた動物である」。

Aが真でない場合、世界は50匹の犬でできていると想像できます。そのうち25匹は飼い慣らされており（そのうち10匹はスカーフを着用）、25匹は野生（そのうち10匹はスカーフを着用）です。猫の同じ統計。

次に、この世界で飼いならされた動物を見た場合、50％の確率で犬になる（25 / 50、25匹の飼いならされた動物のうち25匹）と40％の確率でスカーフ（20 / 50、10 匹）50匹の飼いならされた動物のうち10匹の猫）。

ただし、Aがtrueの場合、50匹の犬がいる世界があり、そのうち25匹は飼い慣らされており（そのうち15匹はスカーフを着用）、25匹は野生（うち5匹はスカーフを着用）です。猫は古い統計を維持します：50匹の猫、25匹は飼いならされた（そのうち10匹はスカーフを着用）、25匹は野生（そのうち10匹はスカーフを着用）。

次に、この世界で飼いならされた動物を見た場合、犬になる確率は同じ50％（25/50、飼いならされた動物のうち25匹）ですが、50％（25 / 50、15匹、 50匹の飼いならされた動物のうち10匹の猫）。

ご覧のように、Aがtrueであると言った場合、世界でスカーフを身に着けている飼いならされた動物を見た場合、他のどの動物よりも犬（60％または15/25）の可能性が高くなります（この場合）猫、40％または10/25）。

ここでは因果関係と相関関係に混乱があります。だから私はあなたに正反対のことが起こる例をあげましょう。

金持ちの人もいれば、貧しい人もいます。一部の貧しい人々は彼らに貧しい人々を少なくする利点を与えられます。しかし、給付を受けた人は、給付があっても、貧しい可能性がさらに高くなります。

特典が与えられると、映画のチケットを購入できる可能性が高くなります。（因果関係を意味する「可能性を高める」）。しかし、映画のチケットを買う余裕があれば、それだけ利益を得られるほど貧しい人々の中にいる可能性が低くなるので、映画のチケットを買う余裕があれば、利益を得る可能性が低くなります。

より強力なステートメントを見ると、直感が明らかになります。

AがBを暗示する場合、BはAをより可能にします。

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Bが真であることがわかっている場合、Aも真である可能性が高くなります。これは、Bが偽である場合、Aも真であるからです。同じロジックが、より弱いステートメントにも適用されます。

AがBの可能性を高くする場合、BはAの可能性を高くします。

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

$P(successful|Alice)>P(successful)$$P(Alice|successful)>P(Alice)$

または、学区に10％の生徒がいるが、ストレートAの生徒の15％がいる学校があるとします。その場合、明らかに、その学校のストレートAの生徒の割合は、学区全体の割合よりも高くなっています。

$P(A\&B)>P(A)P(B)$$A$$B$