どのようにテストするかどうかを

平均して、私は、3つの独立したグループがあると$\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$それぞれ。

どのようにしてテストすることができるかどうかを$\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$、または使用していない$n_1,~n_2,~n_3$、各グループからのサンプル？

詳細な計算ではなく、一般的な方法論を知りたい。仮説$H_0$と$H_1$設定方法がわかりませんでした。

統計では、「Xが真かどうか」をテストすることはできません。帰無仮説が偽であるという証拠を見つけることのみを試みることができます。

さんがあなたの帰無仮説があるとしましょう

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ レッツ・また、あなたがベクトル推定する方法があることを前提と$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$。物事を保つためには、単にあなたが推定持っていることを前提とし $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ $\Sigma$ある$3 \times 3$共変量行列を。帰無仮説を次のように書き直すことができます。 $$A \mu < 0,$$ $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ このショーは、あなたの帰無仮説は、ベクター上の不等式制約として表現することができるという$A \mu$。天然の推定$A\mu$によって与えられ、 $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$ これで、フレームワークを使用して、以下に示す法線ベクトルの不等式制約をテストできます

工藤昭夫（1963）「片側検定の多変量類似体」。で：Biometrika 50.3 / 4、ページ403–418。

$n_1, n_2, n_3$$\Sigma$

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ $\sigma_k^2$$k = 1, 2, 3$

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ $H_1: A\mu <0$ $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ $H_0$$H_0$$H_0$$\Sigma$

$H_0^2$

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ $\max Ax$

@ andreas-dzemskiによって提供される答えは、データが通常に配布されていることがわかっている場合にのみ正しいです。

分布がわからない場合は、ノンパラメトリック検定を実行することをお勧めします。この場合、最も単純なものは順列テストを実行するようです。 これはトピックについての本であり、これは素晴らしいオンライン説明です。以下に、このテストを計算するためのRコードを含めます。

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))