2つの変数のログ間に線形関係があるという直感的な意味は何ですか？

私は2つの変数を持っていますが、お互いにそのままプロットするとあまり相関がありませんが、各変数のログをプロットすると非常に明確な線形関係があります。

そのため、次のタイプのモデルになります。

$$\log(Y) = a \log(X) + b$$ 、数学的には素晴らしいが、通常の線形モデルの説明的な値を持たないようです。

そのようなモデルをどのように解釈できますか？

方程式の両側の指数をとるだけで、潜在的な関係が得られます。これは、一部のデータにとって意味があります。

$$\log(Y) = a\log(X) + b$$

$$\exp(\log(Y)) = \exp(a \log(X) + b)$$

$$Y = e^b\cdot X^a$$

また、は任意の正の値を取ることができる単なるパラメーターであるため、このモデルは次と同等です。$e^b$

$$Y=c \cdot X^a$$

モデル式にはエラー項を含める必要があり、変数のこれらの変更はそれに興味深い効果があることに注意してください。

$$\log(Y) = a \log(X) + b + \epsilon$$

$$Y = e^b\cdot X^a\cdot \exp(\epsilon)$$

つまり、OLSの条件を順守する加法誤差（一定の分散をもつ正規分布誤差）をもつモデルは、対数が一定の分散をもつ正規分布に従う乗法誤差をもつ潜在的なモデルと同等です。

モデル$\log(Y)=a\log(X)+b$を取得し、合計差分を計算すると、次のような結果になります

$$\frac{1}YdY=a\frac{1}XdX$$ d dYに 帰着する X dX $$\frac{dY}{dX}\frac{X}{Y}=a$$

したがって、係数の単純な解釈$a$のパーセント変化であろう$Y$のパーセント変化を$X$。これはさらに、変数$Y$がXの成長率の一定の割合（$a$）で成長することを意味します。$X$

$\log$は直観的に変数の大きさのオーダーを提供するため、2つの変数の大きさのオーダーは線形に関連しているため、関係を見ることができます。たとえば、予測子を1桁増加させると、応答が3桁増加する場合があります。

対数対数プロットを使用してプロットする場合、線形関係が見られます。この質問の例を使用して、線形モデルの仮定を確認できます。

@Rscrillによる回答と実際の離散データとの調整、検討

$$\log(Y_t) = a\log(X_t) + b,\;\;\; \log(Y_{t-1}) = a\log(X_{t-1}) + b$$

$$\implies \log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = a\left[\log(X_t)-\log(X_{t-1})\right]$$

しかし

$$\log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = \log\left(\frac{Y_t}{Y_{t-1}}\right) \equiv \log\left(\frac{Y_{t-1}+\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) = \log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$$

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$$Y$$t-1$$t$$Y_t$$g_{Y_{t}}$$0.1$

$$\log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) \approx \frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}=g_{Y_{t}}$$

したがって、我々は得る

$$g_{Y_{t}}\approx ag_{X_{t}}$$

これは、実証研究で@Rscrillの理論的取り扱いを検証します。

$$Y \sim X^\alpha$$ $X$$X$$Y$$X$