してみましょう$Q_n = C_n.\{|X_i-X_j|;i < j\}_{(k)}$ので、同様に非常に短いサンプルについて$\{1,3,6,2,7,5\}$、それが発見から計算することができる$k$ペアワイズ差の第順序静的。

    7 6 5 3 2 1
1   6 5 4 2 1
2   5 4 3 1
3   4 3 2
5   2 1
6   1
7

h = [n / 2] + 1 = 4

k = h（h-1）/ 2 = 8

したがって、$Q_n=C_n. 2$

明らかに、80,000レコードで構成されていると言っている大きなサンプルの場合、非常に大きなメモリが必要です。

とにかく2Dではなく1D空間でを計算する方法はあります$Q_n$か？

回答ftp://ftp.win.ua.ac.be/pub/preprints/92/Timeff92.pdfへのリンク 。完全には理解できませんが。

更新：問題の核心は、$O(n\log(n))$時間の複雑さを達成するために、$O(n)$ストレージの順序で必要になることです。

いいえ、$O(n\log(n))$は、すべてのn （n − 1 ）の中からk t h要素を選択する（（1）を参照）時間の複雑さの理論上の下限です$k^{th}$$\frac{n(n-1)}{2}$可能$|x_i - x_j|: 1 \leq i \lt j \leq n$。

$O(1)$スペースを取得できますが、時間O （n 2）で$x_i-x_j$すべての組み合わせを単純にチェックするだけです。$O(n^2)$

良いニュースは、あなたが使用できることである$\tau$規模の推定を機能で実装、（改良版といくつかのタイミングの比較のために（2）と（3）を参照） scaleTau2()でRパッケージrobustbase。単変量$\tau$推定量は、スケールの2段階（つまり、再重み付け）推定量です。95パーセントのガウス効率、50パーセントのブレークダウンポイント、$O(n)$時間と$O(1)$スペースの複雑さを備えています（さらに、簡単に「オンライン」にすることができ、繰り返し使用する場合の計算コストの半分を削減します）Rこのオプションを実装するにはコードを掘り下げる必要がありますが、それはやや簡単です）。

1. X + Yの選択とランキングの複雑さ、およびソートされた列を持つマトリックスGN FredericksonとDB Johnson、Journal of Computer and System Sciences Volume 24、Issue 2、1982年4月、ページ197-208。
2. Yohai、V.およびZamar、R.（1988）。効率的なスケールの最小化による回帰の高いブレークダウンポイント推定。Journal of the American Statistics Association 83 406–413。
3. Maronna、R.およびZamar、R.（2002）。高次元データセットの位置と分散の堅牢な推定。テクノメトリックス44 307–317

編集これを使用するには

1. 起動しますR（無料で、ここからダウンロードできます）
2. 次を入力してパッケージをインストールします。

install.packages("robustbase")

3. 次を入力してパッケージをロードします。

library("robustbase")

4. データファイルを読み込み、関数を実行します。

mydatavector <- read.table("address to my file in text format", header=T)
scaleTau2(mydatavector)

（非常に短い答え）コメント用のテキストは言う

コメントで質問に答えないでください。

ので、ここでそれが行く：：一見非常によく動作しますオンラインアルゴリズムに関する論文があります 適用する見積もりオンライン$Q_n$。

編集

（ユーザーuser603による）。この記事でリンクされているアルゴリズムは、Q nの移動ウィンドウバージョンです。$Q_n$

大きなサンプルを幅n < Nの時間ウィンドウに分割すると、{ x i } t i = t − n + 1になり、各時間ウィンドウにQ nを適用してN − n + 1が得られます。Q nの値。これらの値を示します{ Q i n } N − n + 1 i $\{x_i\}_{i=1}^N$$n<N$$\{x_i\}_{i=t-n+1}^t$$Q_n$$N-n+1$$Q_n$$\{Q_n^i\}_{i=1}^{N-n+1}$

$Q_n^i|Q_n^{i-1}$ $O(n\log(n))$$Q_n^i$

$Q_n$$\{x_i\}_{i=1}^N$$O(n^2)$（ただし、多くの場合、はるかに小さいサイズです）。

これはQnの私の実装です...

私はこれをCでプログラミングしていましたが、結果は次のとおりです。

void bubbleSort(double *datos, int N)
{
 for (int j=0; j<N-1 ;j++)     
  for (int i=j+1; i<N; i++)    
   if (datos[i]<datos[j])      
   {
    double tmp=datos[i];
    datos[i]=datos[j];
    datos[j]=tmp;
   }
}

double  fFactorial(long N)    
{
 double factorial=1.0;

 for (long i=1; i<=N; ++i)
  factorial*=(double)i;

 return factorial;  
}

double fQ_n(double *datos, int N)  // Rousseeuw's and Croux (1993) Qn scale estimator
{
 bubbleSort(datos, N);

 int m=(int)((fFactorial((long)N))/(fFactorial(2)*fFactorial((long)N-2)));

 double D[m];
 //double Cn=2.2219;      //not used now :) constant value https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/qn_scale.htm

 int k=(int)((fFactorial((long)N/2+1))/(fFactorial(2)*fFactorial((long)N/2+1-2)));

 int y=0;

 for (int i=0; i<N; i++)
  for (int j=N-1; j>=0; j--)
   if (i<j)
   {
    D[y]=abs(datos[i]-datos[j]);
    y++;
   }

 bubbleSort(D, m);

 return D[k-1];
}

int main(int argc, char **argv)    
{
 double datos[6]={1,2,3,5,6,7};
 int N=6;

 // Priting in terminal the final solution
 printf("\n==[Results] ========================================\n\n");

 printf(" Q_n=%0.3f\n",fQ_n(datos,N));

 return 0;
}