インターセプトが統計パッケージで1として入力されるのはなぜですか（R、Python）

統計ソフトウェアを使用する場合、線形モデルを定義するときに、切片が「const」や「intercept」などではなく1として入力されるのはなぜですか。1にはどのような意味がありますか？

歴史的な理由はありますか？または、これは私が理解できない何らかの方法で論理的ですか？切片は任意の数にすることができます。

Pythonのstatsmodelsライブラリの例：

model = smf.ols('Height ~ 1', data = height_sample_data)

Rのlmerパッケージは非常によく似ています。

数式が内部的に変換されるというマトリックス表記を検討すると、それは論理的です。行列では、非定数の予測子は（1つ以上の）列に変換され、切片は完全に1から構成される列に変換されます。

たとえば、Rでは、次のように非常に単純なOLSを記述します。

lm(z~1+x+y)

マトリックス表記では、これはモデルに変換されます

$$\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & y_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_x \\ \beta_z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{pmatrix},$$

そして今、あなたはがどこから来たかを見る。$1$

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1+Rは常に切片を含めることを想定しているため、実際には省略してもかまいません。これは、

lm(z~x+y).

ただし、切片を抑制したい場合は、次のように記述します。

lm(z~x+y-1),

これは、1列のない行列に変換されます。

$$\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \vdots & \vdots \\ x_n & y_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_x \\ \beta_z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{pmatrix},$$