一様確率変数の独立性と相関の関係

私の質問はかなり単純です：とを上の2つの無相関の一様確率変数としましょう。彼らは独立していますか？$X$$Y$$[-1,1]$

2つのランダムな無相関変数は、それらの共同分布が正規である場合にのみ、必ずしも独立しているという印象を受けました。しかし、私が求めている主張を否定するための反例を思いつくことはできません。反例または証拠を提供してください。

独立は無相関を意味しますが、その意味は逆には行きません。

無相関とは、特定の条件下でのみ独立を意味します。たとえば、2変量正規がある場合、無相関は独立したことを意味します（あなたが言ったように）。

変数が無相関であるが独立していない、均一なマージンを持つ二変量分布を構築することは簡単です。以下にいくつかの例を示します。

1. は無関係に、確率でそれぞれの値をとる追加の確率変数を考えます。次にます。$B$$\pm 1$$\frac12$$X$$Y=BX$

2. 2つの独立したユニフォームの2変量分布を取り、各マージンで4つの等しいサイズのセクションにスライスします（個、各サイズ）。4つのコーナーピースと4つのセンターピースからすべての確率を取得し、他の8つのピースに均等に配置します。$4\times 4=16$$\frac12\times\frac12$

3. レッツ。$Y = 2|X|-1$

いずれの場合も、変数は無相関ですが独立ではありません（たとえば場合、、？とは何ですか）$X=1$$P(-0.1<Y<0.1)\,$

一定のマージンを持つ特定の2変量分布のファミリーを指定した場合、その定式化では、相関のないもののみが独立している可能性があります。それから無相関であることは独立を意味します。

たとえば、ガウスのコピュラを言うことに注意を制限すると、相関のないものだけに独立したマージンがあると思います。各マージンが（-1,1）になるように簡単に再スケーリングできます。

これらの2変量からサンプリングしてプロットするためのいくつかのRコード（必ずしも効率的ではない）：

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

（この定式化では、は4番目の例を示します）$(Y_2, Y_3)$

[ちなみに、これらすべてを正規性に変換する（つまり、を変換するなど）と、独立していない無相関の正規確率変数の例が得られます。当然それらは一緒に正常ではありません。]$X$$\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$