ベルヌーイ分布のは何ですか？

確率のベイズ理論では、確率はあるものについての知識の表現であり、そのものの特性ではありません。しかし、私は常に人々がを推定する必要があるパラメータとして扱うのを見ています。彼らは、事前分布を、通常はベータ関数の形式で設定し、この変数の「実現」に応じて更新します。$p$$p$

偉大なベイジアンのジェインズでさえ、「確率を推定している」、または「データに最も適合する」を探しているという印象を与えることがあります。$p$

ここで、「ベルヌーイクラス」に属する仮説のみを考慮に入れます。この場合、各試行で可能な結果があり、実験の連続反復でのの確率は独立して定常的であると見なされます。$B_m$$m$$A_k$

確率論、ET Jaynes、297ページ

これは、私は混乱になりある確率ではない、それは確率変数の財産であり、それはであることから、周波数いない変数は、単一のイベントを表しているので、。$p$

確率のベイズ理論では、確率はあるものについての知識の表現であり、そのものの特性ではありません。しかし、私はいつも人々が扱うのを見ます$p$推定する必要があるパラメータとして。彼らは事前に$p$、通常はベータ関数の形式で、この変数の「実現」に応じて更新します。

これは無関係です。これは、哲学ではなく、明確に定義された数学的対象に関するものであるため、確率の意味の解釈とは関係ありません。あなたは人々の価値の見積もりを議論しているのを見ます$p$ 統計ハンドブックを調べて、統計は物事を推定することですが、 $p$は分布のパラメータであり、既知の場合も未知の場合もあります。

もし $X$「成功」の確率を持つベルヌーイ確率変数 $p$、その後 $\Pr(X=1) = p$定義により。したがって、はこの分布のパラメーターですが、「成功」の確率でもあります。$p$

これは、私は混乱になりある確率ではない、それは確率変数の財産であり、それはであることから、周波数いない変数は、単一のイベントを表しているので、。$p$

はい、ランダム変数はいくつかの「単一のイベント」を説明するため、コインを投げる場合、不確実であるため、可能な結果はランダム変数です。あなたがコインを投げて結果を知った後、それはもはやランダムではなく、結果は確実です。確率については、頻度主義の設定では、コイン投げの実験を膨大な回数繰り返し、確率はそれらの繰り返しの間の頭の比率に等しいという架空のシナリオを検討します。で主観的、ベイズ設定、確率はあなたが頭を観察することを信じてどのくらいやるの尺度です。

しかし、上記はが何であるかを問うには無関係です。「成功」の確率にも等しいパラメータです。確率をどのように解釈し、それが何を意味するかという問題は、別の問題です。$p$

$p$ は、「成功確率」を指定するパラメーターであり、事前確率分布と事後確率分布があります。

例えば、それが公正であるかどうかわからないコインがあるかもしれません（$p=0.5$） か否か （$p\neq 0.5$）。そうであっても、公正さ、またはその欠如は、コインの特性です。私たちはたまたまそのコインの特性について確信が持てないのです。

次に、たとえば、ベータ事前分布を、次のように可能な確率での事前確率分布として指定します。 $[0,1]$。その以前は、例えば、コインを見て、それが公正に「見える」かどうかを評価することによって刺激を受けるかもしれません。公正に見える場合は、事前に多くの確率質量を持つ事前分布を指定する傾向があります。$p=0.5$。

他の場合では、たとえば、サッカー選手が次のペナルティで成功する確率について事前の信念を形成するとき-また、ベルヌーイの結果、目標であるかどうかにかかわらず-より多くの確率の質量を置く傾向があります $p$ プロのフットボール選手はほとんどのペナルティで得点するので、0.8前後。

次に、コインを投げて、プレーヤーを数回観察し、尤度関数で情報を要約して、更新、つまり事後を取得します。

確率変数の場合 $X \sim \operatorname{Bernoulli}(p)$ 確率空間で定義 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$、パラメータ $p$ （数）は、特定のイベント、つまりイベントの確率です $\{X = 1\}$。あれは、

$$p = P(X = 1).$$ シングルナンバー $p$ の分布を完全に決定します $X$ すべてのボレルセットのため $B \subseteq \mathbb{R}$ 我々は持っています $$\begin{aligned} P(X \in B) &= \mathbf{1}_B(0)P(X = 0) + \mathbf{1}_B(1) P(X = 1) \\ &= (1 - p) \mathbf{1}_B(0) + p \mathbf{1}_B(1). \end{aligned}$$ （ここに $\mathbf{1}_B$ の指標関数です $B$。）これが、ベルヌーイ分布の族が区間によってパラメーター化される理由です $[0, 1]$。この事実は、統計学の常連またはベイズの解釈とは無関係です。それは確率の事実にすぎません。

ベイジアンの場合は、次のパラメータが必要です。 $p$いくつかの以前の分布でそれ自体が確率変数になる 正式には、パラメータは確率変数であると言えます$\Pi$ でサポート $[0, 1]$ そして私たちは持っています

$$X \mid \Pi \sim \operatorname{Bernoulli}(\Pi),$$ つまり $$\begin{aligned} P(X = 1 \mid \Pi) &= \Pi, & P(X = 0 \mid \Pi) &= 1 - \Pi \end{aligned}$$ ほぼ確実に（または $$\begin{aligned} P(X = 1 \mid \Pi = p) &= p, & P(X = 0 \mid \Pi = p) &= 1 - p \end{aligned}$$ のために $p \in [0, 1]$）。この場合、パラメーター$\Pi$（確率変数）は、イベントの条件付き確率です$\{X = 1\}$ 与えられた $\Pi$。この条件付き確率は、$\Pi$ （事前分布）、の分布を完全に決定します $X$ 以来 $$\begin{aligned} P(X \in B) &= E[P(X \in B \mid \Pi)] \\ &= E[\mathbf{1}_B(0)P(X = 0 \mid \Pi) + \mathbf{1}_B(1) P(X = 1 \mid \Pi)] \\ &= E[(1 - \Pi) \mathbf{1}_B(0) + \Pi \mathbf{1}_B(1)] \\ &= (1 - E[\Pi]) \mathbf{1}_B(0) + E[\Pi] \mathbf{1}_B(1) \end{aligned}$$ ボレルセット $B \subseteq \mathbb{R}$。

いずれにせよ、頻度主義やベイジアンの場合、ベルヌーイデータの通常のパラメーターは、何らかのイベントの確率（限界または条件付き）です。