従属比較の複数比較修正

で、このブログの記事の著者は同時に分位を推定し、全体の分位数機能をカバーして推定のために同時信頼エンベロープを構築する議論します。彼らはこれをブートストラップしてポイントワイズブートストラップ信頼区間を計算し、多重比較のためにボンフェローニ型補正を適用します。比較は独立していないので、式に従って独立した試行の有効数のようなものを計算します

$$N_{eq}=\frac{N^2}{\sum_{i,j}r(b_i,b_j)}$$

どこ $N$ 推定するポイントの数であり、 $r(b_i,b_j)$ 間のサンプル相関です $ith$ そして $j$thブートストラップベクトル。

私の質問は、この公式がどこから来たかです。それらはソースへのリンクを提供しますが、ソースにこの式は表示されません。この特定の修正が文献で使用されていることを知っている人はいますか？

より単純だが密接に関連する問題を考えてみましょう。ベクトルがあると仮定します$x$ そのエントリには相関行列があります $R$。もし$R$ は対角であり、その場合の標本平均の分散 $x$ です $\sigma^2_{\bar{x}} = \sum \sigma^2_i/n^2$。すべての場合$\sigma^2_i$ 等しい、これはより一般的に見られるように減少します $\sigma^2/n$、そして項を並べ替えて、2つの分散の関数としてサンプルサイズを取得できます。

$$n = \sigma^2 / \sigma^2_{\bar{x}}$$

ただし、 $R$ は対角線ではなく、その分散 $\bar{x}$ 等しい：

$$\sigma^2_{\bar{x}} = \sum_i\sum_j\sigma_i\sigma_jr_{ij}/n^2$$

場合 $\sigma_i = \sigma_j \space \forall \space i,j$、これは次のようになります。

$$\sigma^2_{\bar{x}} = \sigma^2 \sum_i\sum_jr_{ij}/n^2$$

無相関の場合のサンプルサイズの式との類似性により、これと $\sigma^2$ 「有効サンプルサイズ」です $n_{ess}$：

$$n_{ess} = \sigma^2 / \sigma^2_{\bar{x}} = {\sigma^2 \over \sigma^2\sum_i\sum_jr_{ij}/n^2} = {n^2 \over \sum_i\sum_jr_{ij}}$$

もし $R$ 次に対角線です $\sum_i\sum_jr_{ij} = n$、 $n$ の対角要素 $R$ 等しい $1$ そして、すべての非対角要素は等しい $0$、および予想されるように、有効サンプルサイズは実際のサンプルサイズと同じです。

有効なサンプルサイズと実際のサンプルサイズを比較すると、推定問題に対する非ゼロ相関の影響の推定が得られます。明らかに、相関が高い（正または負のいずれか）か、相関が多い場合、効果はかなり大きくなる可能性があります。

この例とケースの関係は次のとおりです。「サンプルサイズ」の代わりに、$n$推定される変位値の数として。基本的なBonferroni補正は、$n$比較。ただし、分位数の推定値は相関していることがわかっているため、ボンフェローニ修正（正の相関の場合）はあまりにも悲観的です（一般に、最初から非常に悲観的なボンフェローニの場合でも）。

これを確認するには、10個の変位値を推定していて、変位値推定値の誤差が完全に相関している状況を考えます。たとえば、既知の分散が1である正規分布の分位数を推定するとします。あなたの見積もりはすべて次の形式になります$\bar{x} \pm k$、 どこ $k$問題の分位に依存します。変位値推定値の誤差はすべて、平均の推定値の誤差とまったく同じになるため、点ごとの信頼区間のコレクションは同時信頼区間と等しくなります。実際には、推定値は1つだけですが、Bonferroni（補正なし）は、10の推定値があるかのように信頼区間を調整し、本来あるべきよりも広くします。上記の計算は、$r_{ij}=1 \space \forall \space i,j$、結果は $n_{ess} = 1$、必要に応じて、この場合、有効なサンプルサイズを使用したBonferroni間隔は正しくなります。

ソースについては、あなたが提供するリンクにリンクされている論文（Solow-Polasky）にあります。式は式（7）ですが、表記は完全に異なります。