拒否のサンプリングが機能する理由を理解できません

7

サンプルポイントを任意の2D形状で生成したい。たとえば、半径1の原点を中心とする円。 $\{z_i\}$

、および上の2つの一様確率変数を見てください。 $[0,1]$ $X$ $Y$
とサンプルでは、とを取得するとしましょう。 $X$ $Y$ $x$ $y$
かどうかをテストします。 $x^2+y^2\leq 1$
- はいの場合、。 $z=(x,y)$
- いいえの場合、条件が満たされるまでとサンプリングします。 $X$ $Y$

なぜこれが機能するのか、つまり、ディスク全体に均一に分布するランダム変数サンプリングをシミュレートするのはなぜですか $Z$

uniform rejection-sampling

— ToniAz
ソース

@AdamO問題は手順に関するものであり、データのプロパティの制限に関するものではないため、WLLNは無関係であると思います。これは、ときにすることを実証するために十分で平面で測定セットであり、この手順から独立に点を描画の領域に確率に比例して（当該単位ディスクです）。

A

$A$

A

$A$

A \cap D^{2}

$A \cap D^2$

D^{2}

$D^2$

— whuber

@ AdamO、OPは円の面積を測定することに関心を示していません。彼らは質問の前に「サンプルを生成したい」と付け加えました。彼らがエリアの推定に興味を持っていた場合、拒絶サンプリングによって得られたサンプルがどのように代表的であるかを理解していれば、あなたのコメントは有効です。しかし、彼らは、なぜ得られたサンプルが代表的であるのかを知りたがっています。

— Greenparker

@Greenparkerありがとう、私が質問を誤解した理由がわかります。

— AdamO

2

一般に、サポートで密度分布からサンプリングするには、密度提案分布を使用する場合、次のようなを見つける必要があります。 $f(x,y)$ $\mathcal{S}$ $h(x,y)$ $M$

sup_{(x, y) \in S} \frac{f (x, y)}{h (x, y)} \leq M,

$\sup_{(x,y) \in\mathcal{S}} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} \leq M,$

提案された値を確率で受け入れることができるように

α = \frac{f (x, y)}{M h (x, y)} .

$\alpha = \dfrac{f(x,y)}{Mh(x,y)}\,.$

受け入れることは、を描画し、場合に受け入れることと同等です。 $\alpha$ $U \sim U[0,1]$ $U < \alpha$

私は、拒否のサンプリングのこの一般的な前提を理解していると想定しています。したがって、均一な正方形の提案を使用して円からサンプルを描画するこの例では、

f (x, y) = \frac{1}{π} \cdot I (\underset{= S}{\underset{⏟}{x^{2} + y^{2} < 1}}) and h (x, y) = \frac{1}{4} I (- 1 < x, y < 1) .

$f(x,y) = \dfrac{1}{\pi} \cdot I(\underbrace{x^2 + y^2 <1}_{=\mathcal{S}}) \quad \text{ and }\quad h(x,y) = \dfrac{1}{4} I(-1 < x,y < 1)\,.$

まず、見つけましょう。支持して、 $M$ $f$

sup_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \frac{f (x, y)}{h (x, y)} = sup_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \frac{I (x^{2} + y^{2} \leq 1) / π}{1 / 4} = \frac{4}{π} := M .

$\sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} = \sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{ I(x^2 + y^2 \leq 1)/ \pi}{1/4} = \dfrac{4}{\pi} := M\,.$

したがって、正方形から提案された値は、確率で期待されます

\frac{f (x, y)}{M h (x, y)} = \frac{I (x^{2} + y^{2} \leq 1) / π}{M / 4} = I (x^{2} + y^{2} \leq 1) .

$\dfrac{f(x,y)}{M{h(x,y)}} = \dfrac{I(x^2 + y^2 \leq 1)/\pi}{M/{4}} = I(x^2 + y^2 \leq 1)\,.$

したがって、のサポートで提案された値の場合、は常に未満になるため、常に受け入れます。したがって、からサンプリングする必要はなく、サンプリングされた点が円の内側にあるときはいつでも、それをすぐに受け入れることができます。 $f$ $U\sim U[0,1]$ $1$ $U$

— Greenparker
ソース

2

最初に、とをと間に分散させる必要があります（とだけを見ているので、は円の4分の1を与えます）。 $x$ $y$ $-1$ $1$ $[0,1]$ $y \ge 0$ $x \ge0$

次に、軸と軸に沿ってランダムに分散された変数の2つのリストがあることを理解します-ポイントのランダムな分布を持つ2つの線。これらを組み合わせると、ランダムに分布したポイントの正方形ができます。 $X$ $Y$

次に、を中心とする円内にない正方形のビットを拒否します-したがって、この不等式を満たすすべての点はディスク上の点と、正方形上の点が均一に分布しているため、ディスク上の点も均一です。 $(0,0)$ $x^{2}+y^{2}\le1$

— リオ・エルバマルフ
ソース

1

等確率で[0,1] x [0,1]の任意の点を選択しました。次に、サークルの外にいる人をすべて削除しました。

これにより、円内の個々の点が選択される確率は変わりません（つまり、円内の点は、他の点と同じ確率で選択されます）。

— デビッド
ソース