確率

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仮定 $X_1$ 及び $X_2$ 、パラメータを持つ独立した幾何学的な確率変数である $p$ 。その確率は何である $X_1 \geq X_2$ ？

$X_1$ と $X_2$ については幾何学的であるということ以外は何も言われていないので、私はこの質問について混乱しています。とは範囲内にあるため、これは $50\%$ はないでしょうか？ $X_1$ $X_2$

編集：新しい試み

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ および $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

したがって、 $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
追加 $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ と、I取得 $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

これは正しいです？

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
ソース

3

「自習」タグを追加してください。

— StubbornAtom

1

実際、X1とX2は離散変数であるため、等式により、物事は少しわかりにくくなります。

— usεr11852

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$50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

1つのアプローチ：

$P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

最初の2つの間には明らかな関係があります。3番目の式を記述して簡略化します。したがって、問題を解決します。

— Glen_b-モニカの復活
ソース

私の投稿を編集し、新しい回答を投稿しました。ご覧になって、それが正しいかどうか確認していただけますか

— IrCa

1

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

6

グレンの提案に従うあなたの答えは正しいです。別の、あまりエレガントではない方法は、単に条件付けすることです：

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

これにより、2つのジオメトリックシリーズを処理した後、同じが得られます。グレンのほうがいいです。 $1/(2-p)$

— 禅
ソース

4

注意-私の考えている新しい問題に適用する方があなたの方法の方が良いです。それは第一原理に基づいているからです。glen_bの答えからのトリック/ヒントは通常、問題があなたの方法で解決された後に起こります

— 確率論的

3

@probabilityislogic「第一原理」からの派生に対するあなたの熱意を共有します。ただし、現代の数学者にとって、対称性を探して利用することは、参照する最初の原則（定義）よりもさらに基本的です。それを数学のメタ原理と呼ぶかもしれません。それは単なる「トリック」ではありません。

— whuber