この分布の乱数をシミュレートする方法を見つける

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累積分布関数を使用して、分布からの擬似乱数をシミュレートするプログラムをRで作成しようとしています。

F (x) = 1 - \exp (- a x - \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}), x \geq 0

$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$

ここ $a,b>0, p \in (0,1)$

私は逆変換サンプリングを試みましたが、逆は分析的に解決できないようです。この問題の解決策をご提案いただければ幸いです

r random-generation

— セバスチャン
ソース

1

完全な答えを得るのに十分な時間はありませんが、代わりに重要度サンプリングのアルゴリズムを確認できます。

— chuse

1

それは私のデータのための合理的な仮定であるので、私は唯一の制約を定め、教科書の練習ではありません

— セバスチャン

6

次に、分布を指数関数の完全な力に変えるよる「奇跡的な」正規化に驚かされますが、奇跡は起こります（わずかな確率で）。

(p + 1)^{- 1}

$(p+1)^{-1}$

— 西安

49

この演習には簡単な（そして私が追加できる場合はエレガントな）ソリューションがあります：は2つの生存分布の積のように見えるため、：（分布は分布ですこの場合、は指数分布であり、は -thです指数分布のべき乗。 $1-F(x)$

(1 - F (x)) = \exp {- a x - \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}} = \underset{1 - F_{1} (x)}{\underset{⏟}{\exp {- a x}}} \underset{1 - F_{2} (x)}{\underset{⏟}{\exp {- \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}}}}

$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$

F

$F$

X = min {X_{1}, X_{2}} X_{1} \sim F_{1}, X_{2} \sim F_{2}

$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$

F_{1}

$F_1$

E (a)

$\mathcal{E}(a)$

F_{2}

$F_2$

1 / (p + 1)

$1/(p+1)$

E (b / (p + 1))

$\mathcal{E}(b/(p+1))$

関連するRコードは、取得するのと同じくらい簡単です

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

そして、それは逆pdfとaccept-rejectの解像度よりも間違いなくはるかに高速です：

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163

驚くほど完璧なフィット感：

— 西安
ソース

5

本当にクールなソリューション！

— セバスチャン

14

逆変換はいつでも数値的に解くことができます。

以下では、非常に簡単な二分法検索を行います。与えられた入力確率（式に既にがあるのでを使用します）について、とからます。次に、までを2倍にします。最後に、その長さがより短く、その中点が満たすまで、間隔を繰り返し二等分します。 $q$ $q$ $p$ $x_L=0$ $x_R=1$ $x_R$ $F(x_R)>q$ $[x_L,x_R]$ $\epsilon$ $x_M$ $F(x_M)\approx q$

ECDF はと選択するのに十分に適合し、かなり高速です。単純な二分探索の代わりに、ニュートン型の最適化を使用することで、おそらくこれを高速化できます。 $F$ $a$ $b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

— S.コラッサ-復職モニカ
ソース

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accept-rejectによる直接解決の場合、多少複雑な問題があります。まず、単純な微分は、分布のpdfが次に、上限 3番目に、の2番目の項を考慮して、変数、つまり。その後、は変数の変化のヤコビアンです。場合

f (x) = (a + b x^{p}) \exp {- a x - \frac{b}{p + 1} x^{p + 1}}

$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$

f (x) = a e^{- a x} \underset{\leq 1}{\underset{⏟}{e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)}}} + b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)} \underset{\leq 1}{\underset{⏟}{e^{- a x}}}

$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$

f (x) \leq g (x) = a e^{- a x} + b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)}

$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$

g

$g$

ξ = x^{p + 1}

$\xi=x^{p+1}$

x = ξ^{1 / (p + 1)}

$x=\xi^{1/(p+1)}$

\frac{d x}{d ξ} = \frac{1}{p + 1} ξ^{\frac{1}{p + 1} - 1} = \frac{1}{p + 1} ξ^{\frac{- p}{p + 1}}

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$

X

$X$ の形式の密度を持ちますここで、は正規化定数、の密度はつまり、（i）は指数変量として分布し、（ii）定数は1に等しい。したがって、は、指数分布と指数の乗の均等に重み付けされた混合に等しくなり

κ b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)}

$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$

κ

$\kappa$

Ξ = X^{1 / (p + 1)}

$\Xi=X^{1/(p+1)}$

κ b ξ^{\frac{p}{p + 1}} e^{- b ξ / (p + 1)} \frac{1}{p + 1} ξ^{\frac{- p}{p + 1}} = κ \frac{b}{p + 1} e^{- b ξ / (p + 1)}

$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$

Ξ

$\Xi$

E (b / (p + 1))

$\mathcal{E}(b/(p+1))$

κ

$\kappa$

g (x)

$g(x)$

E (a)

$\mathcal{E}(a)$

1 / (p + 1)

$1/(p+1)$

E (b / (p + 1))

$\mathcal{E}(b/(p+1))$ 分布、重みを説明するために欠落した乗法定数を法として：との混合物としてシミュレートすることが簡単です。

2

$2$

f (x) \leq g (x) = 2 (\frac{1}{2} a e^{- a x} + \frac{1}{2} b x^{p} e^{- b x^{p + 1} / (p + 1)})

$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$

g

$g$

したがって、受け入れ-拒否アルゴリズムのRレンダリングは

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

n-サンプルの場合：

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

これは、a = 1、b = 2、p = 3の図です。

— 西安
ソース