変数と他の変数の線形結合の共分散

LETである時系列変数およびこれらの任意の二つの対の間の共分散が知られています。$X,A,B,C,D$

を検索するとします。ここは定数です。$\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$$a,b,c,d$

を拡張せずにこれを行う方法はありますか？$E[(X-E[X])(aA+......)]$

を拡張せずにこれを行う方法はありますか？$E[(X-E[X])(aA+......)]$

はい。線形結合の共分散である、双線形性と呼ばれる共分散の特性があります。

$${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$$

（ここは定数で、X 、Y 、W 、Zは確率変数です）は次のように分解できます。$a,b,c,d$$X,Y,W,Z$

$$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$$

指定した例では、このプロパティを使用してに記述できます。$\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$

$$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$$