混合モデル：ヘンダーソンの混合モデル方程式を導出する方法は？

Hendersonは、最良の線形不偏予測子（BLUP）のコンテキストで、混合モデル方程式を指定しました（Henderson（1950）：Estimation of Genetic Parameters。Annals of Mathematical Statistics、21、309-310を参照）。次の混合効果モデルを想定します。

$y = X\beta+Zu+e$

ここで、、ベクトルnは観察の確率変数であるのベクトルであり固定効果、および既知の行列であり、及びのベクトル再およびようにランダム効果とおよび$y$$\beta$$p$$X$$Z$$u$$e$$q$$n$$E(u) = 0$$E(e) = 0$

$Var \begin{bmatrix} u \\ e \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G & 0 \\ 0 & R \\ \end{bmatrix}\sigma^2$

ここで、とは既知の正定行列であり、は正の定数です。$G$$R$$\sigma^2$

ヘンダーソン（1950）によれば、BLUPはの推定値の及びの方程式の以下の系の解として定義されます。$\hat {\beta}$$\beta$$\hat {u}$$u$

$X'R^{-1}X\hat {\beta}+X'R^{-1}Z\hat {u} = X'R^{-1}y$

$Z'R^{-1}X\hat {\beta}+(Z'R^{-1}Z + G^{-1})\hat {u} = Z'R^{-1}y$

（また見なさい：Robinson（1991）：そのBLUPは良いことである：変量効果の推定（議論付き）。StatisticalScience、6：15–51）。

私はこの解決策の派生を見つけていませんが、彼が次のようにそれに取り組んだと仮定します。

$(y - X\beta - Zu)'V^{-1}(y - X\beta - Zu)$

ここで、です。したがって、ソリューションはしたがって$V = R + ZGZ'$

$X'V^{-1}X\hat {\beta} + X'V^{-1}Z\hat {u} = X'V^{-1}y$

$Z'V^{-1}X\hat {\beta} + Z'V^{-1}Z\hat {u} = Z'V^{-1}y$。

我々はまた、知っている。$V^{-1} = R^{-1} - R^{-1}Z(G^{-1}+Z'R^{-1}Z)Z'R^{-1}$

しかし、混合モデル方程式にたどり着くにはどうすればよいでしょうか。

1つのアプローチは、対数尤度を形成し、ランダム効果に関してこれを区別し、これをゼロに設定してから繰り返しますが、固定効果に関して区別します。$\mathbf{u}$$\boldsymbol{\beta}$

通常の正規性の仮定では、次のようになります。

$$\begin{align*} \mathbf{y|u} &\sim \mathcal{N}\mathbf{(X\beta + Zu, R)} \\ \mathbf{u} &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0, G}) \end{align*}$$ ここで、は応答ベクトル、とは変量効果と固定効果係数ベクトルとは、それぞれ固定効果と変量効果のモデル行列です。対数尤度は次のようになります。$\mathbf{y}$$\mathbf{u}$$\boldsymbol{\beta}$$\mathbf{X}$$\mathbf{Z}$

$$-2\log L(\boldsymbol{\beta,\theta,}\mathbf{u}) = \log|\mathbf{R}|+(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu})'\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) +\log|\mathbf{G}|+\mathbf{u'G^{-1}u}$$ 変量効果と固定効果を： これらの両方をゼロに設定した後、いくつかのマイナーな再整理すると、ヘンダーソンの混合モデル方程式が得られます。 $$\begin{align*} \frac{\partial \log L}{\partial \mathbf{u}} &= \mathbf{Z'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) - \mathbf{G^{-1}u} \\ \frac{\partial \log L}{\partial \boldsymbol{\beta}} &= \mathbf{X'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathbf{Z'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{Z'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{u(Z'R^{-1}Z+G^{-1})} \\ \mathbf{X'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{X'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{uX'R^{-1}Z} \end{align*}$$