「共通の」正規分布があるとはどういう意味ですか？

運動の質問は尋ねます

LET共通の正規分布を有するRVSことと。すべてのの上部テール依存係数を計算します。$X_1, X_2$$N(0,1)$$\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$$\rho \in [-1, 1]$

「一般的な」正規分布があるとはどういう意味ですか？

私の最初の考えは、と両方が一変量正規分散変数であることを意味するということでした。ただし、それが真実である場合、その質問は意味がありません。尾の依存関係は計算できません。$X_1$$X_2$$N(0,1)$

それで、私は「共通の」正規分布によって、それらは二変量正規分布を意味すると信じるように残されていますか？

それは二つのことが真実であることを意味します。

最初：

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

すべての実数$t$（つまり、$X_1$と$X_2$は同じ分布であり、多くの場合、この条件を記述するために、略等分布の省略形が使用されます）。

第二：

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

いくつかの固定数$\mu$および$\sigma$（つまり、$X_1$（*）の分布は正規分布です）。

これは、$(X_1, X_2)$がそれ以上の仮定なしに結合法線であることを意味しません。それが意図されていた場合、それは著者が実際に書いたものではありません。

（*）最初の条件が与えられた場合、これは$X_2$分布も正規分布であることを意味します。

私は、周辺分布ことをここだけの意味「共通」と思う$\text{N}(0,1)$両方の確率変数（すなわち、それらは同じ周辺分布を持つ）に共通しています。技術的にはこれは2変量正規分布を与えるには不十分ですが、筆者はおそらくその形式を意図していたと思います。

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

その仕様は、共通の周辺分布生じるであろう$X \sim \text{N}(0,1)$と$Y \sim \text{N}(0,1)$。私があなただったら、この専門性に注目して、確率変数が2変量正規であることに基づいて先に進むことをお勧めします。あなたが答えを与えたら、あなたは警告としてこの問題をもう一度書き留めておきたいかもしれません。

演習の表現が不適切です。2つの確率変数が一緒に正規であり、共通の分布を持っているということです。それらが別々に正常であるが共同して正常ではない場合、質問に答えるための十分な情報がありません。私の疑いが正しければ、演習はそれらが一緒に正常であると述べているべきです。

「共通の」分布を持つということは、単に両方が同じ分布を持つことを意味します。したがって：

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$$i=1,2,$