パラメータの問題の特定

私は常に計量経済学における同定の本質を理解するのに苦労しています。パラメータ（たとえば、）は、その（結合）分布を見るだけでパラメータの値を推測できる場合に識別できると述べています。単純な場合には、ここで、、我々はその状態でき、我々がその分散ことがわかっている場合に同定される。しかし、でが不明なパラメータではどうでしょうか。とを識別できますか？ $\hat{\theta}$ $y=b_1X+u$ $E[u]=0,E[u|x]=0$ $b_1$ $Var(\hat{b})>0$ $E[u|X]=a$ $a$ $a$ $b_1$

モデルを（および）に展開して、が識別されていることを示す場合は、次のようにします。 3つのパラメーターすべての分散がゼロより大きいことを簡単に述べる必要がありますか？ $Y=b_0+b_1X+b_2XD=u$ $D\in\{0,1\}$ $E[u|X,D]=0$ $b_1,b_2,b_3$

身元確認に関する私の心をクリアするためのすべての助けに感謝します。

estimation identifiability

— CharlesM
ソース

ダミー変数のあるモデルでは、

[X^{'} X]^{- 1}

$[X'X]^{-1}$ が存在することを示す必要があると言われました。つまり、この行列の行列式が0に等しくないことを意味します。正しいですか？

— CharlesM 2012年

私はまた、数学の交換と何の疑問....投稿

— CharlesM

これは役に立ちますか、それともあなたがすでに知っていること以上のものですか？UChicagoコースノート

— カーク

最初に次のオブジェクトを定義しましょう：関数としてをモデル化するために使用される統計モデルには、ベクトル表されるパラメーターがあります。これらのパラメーターは、パラメーター空間内で変化することが許可されています。これらすべてのパラメーターの推定には関心がありませんが、特定のサブセットのみに関心があります。たとえば、パラメーターの、を表し、パラメーター空間内で変化します。モデルでは、変数とパラメーター $M$ $Y$ $X$ $p$ $\theta$ $\Theta \subset \mathbb{R^p}$ $q \leq p$ $\theta^0$ $\Theta^0 \subset \mathbb{R^q}$ $M$ $X$ $\theta$ はを説明するためなどにマッピングされます。このマッピングは、とパラメーターによって定義されます。 $Y$ $M$

この設定の中で、識別可能性は観測等価性について何かを示します。特に、パラメータがに対して識別可能である場合、が保持され。言い換えると、モデル仕様与えられた場合、同じデータ生成プロセスを引き起こす異なるパラメーターベクトルは存在しません。これらの概念をより考えやすくするために、2つの例を示します。 $\theta^0$ $M$ $\nexists \theta^1 \in \Theta^0: \theta^1 \neq \theta^0, M(\theta^0) = M(\theta^1)$ $\theta^1$ $M$

例1：定義します。単純な統計モデル：そして（したがって、）。それは明らかであるかどうかまたは、それは常に保持すること識別可能である：生成処理より有するのパラメータとの関係をと。修正 $\theta = (a,b)$ $X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$ $M$

\begin{aligned} Y = a + X b + ε \end{aligned}

$\begin{align} Y = a+Xb+\varepsilon \end{align}$

(a, b) \in R^{2}

$(a,b) \in \mathbb{R^2}$

Θ = R^{2}

$\Theta = \mathbb{R^2}$

θ^{0} = (a, b)

$\theta^0 = (a,b)$

θ^{0} = a

$\theta^0 = a$

θ^{0}

$\theta^0$

Y

$Y$

X

$X$

1 : 1

$1:1$

a

$a$

b

$b$

(a, b)

$(a,b)$ 、同じデータ生成プロセスを記述する2番目のタプルをで見つけることはできません。

R

$\mathbb{R}$

例2：定義します。よりトリッキーな統計モデル：およびおよび（したがって、）。用しながら、これは特定できる統計モデルだろう1は、別のパラメータ（すなわち、含まれている場合、これは成り立たないまたは）。どうして？任意のペアのため $\theta = (a,b,c)$ $X\sim N(\mu, \sigma^2I_{n}); \varepsilon \sim N(0, \sigma_e^2 I_{n})$ $M'$

\begin{aligned} Y = a + X (\frac{b}{c}) + ε \end{aligned}

$\begin{align} Y = a+X(\frac{b}{c})+\varepsilon \end{align}$

(a, b) \in R^{2}

$(a,b) \in \mathbb{R^2}$

c \in R ∖ {0}

$c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

Θ = R^{3} ∖ {(l, m, 0) | (l, m) \in R^{2}}

$\Theta = \mathbb{R^3}\setminus\{(l,m,0)| (l,m) \in \mathbb{R^2}\}$

θ^{0}

$\theta^0$

b

$b$

c

$c$

(b, c)

$(b,c)$ 、セットには他にも無限に多くのペアが存在します。この場合の問題の明白な解決策は、モデルを特定するために分数を置き換える新しいパラメーターを導入することです。ただし、理論上の理由から、とは別々のパラメーターとして興味があるかもしれません。これらのパラメーターは、（経済的）理論的な意味で興味のあるパラメーターに対応する可能性があります。（たとえば、は「消費する傾向」であり、は「信頼度」である可能性があり、回帰モデルからこれら2つの量を推定することができます。残念ながら、これは不可能です。）

B := {(x, y) | (x / y) = (b / c), (x, y) \in R^{2}}

$B:=\{(x,y)|(x/y) = (b/c), (x,y)\in\mathbb{R}^2\}$

d = b / c

$d = b/c$

b

$b$

c

$c$

b

$b$

c

$c$

— エレミアスK
ソース

「同じデータを生成する別のパラメーターベクトルは存在しません」は、「生成」によって異常なことを意味しない限り、正しく聞こえません。おそらくそれを詳しく説明する必要があるか、おそらく「統計モデル」の意味を明示する必要があります。イラストで使用しているモデルを含め、ほとんどのモデルでは、あらゆるデータセットが、可能なパラメータのいずれかによって生成されている可能性があります。

θ^{1}

$\theta^1$

— whuber

@whuberそれは良い点です。私が言っておくべきだったのは、「そこには…… 同じデータ生成プロセスを引き起こすことはない」ということです。私はこれを今変更しました:)

— Jeremias K