帰無仮説がある場合の二項データの検出力分析

対 2項データから単一サンプルの電力分析を実行したいと思います。ここで、は母集団内の成功の割合です。場合、項の正規近似または -testのいずれかを使用できますが、場合、どちらも失敗します。この分析を行う方法があるかどうか知りたいです。提案、コメント、または参考資料をいただければ幸いです。どうもありがとう！H 1：P = 0.001 、P 0 < P < 1 χ 2、P = $H_0: p = 0$$H_1: p = 0.001$$p$$0 < p <1$$\chi^2$$p =0$

片側の正確な仮説があり、ここでおよびです。 p 1 = 0.001 p 0 = $p_{1} > p_{0}$$p_{1} = 0.001$$p_{0} = 0$

• 最初のステップは、成功数のしきい値を特定することです。これにより、サイズサンプルで少なくとも成功が得られる確率は、帰無仮説（通常、）で非常に低くなります。あなたの場合、と特定の選択に関係なく、です。$c$$c$$n$$\alpha = 0.05$$c=1$$n \geqslant 1$$\alpha > 0$
• 2番目のステップは、対立仮説の下でサイズサンプルで少なくとも成功する確率を見つけることです。これがあなたの力です。ここでは、二項分布が完全に指定されるように、固定のが必要です。$c$$n$$n$$\mathcal{B}(n, p_{1})$

Rの2番目のステップ：$n = 500$

> n  <- 500                 # sample size
> p1 <- 0.001               # success probability under alternative hypothesis
> cc <- 1                   # threshold
> sum(dbinom(cc:n, n, p1))  # power: probability for cc or more successes given p1
[1] 0.3936211

サンプルサイズに応じて検出力がどのように変化するかを知るために、検出力関数を描くことができます。

nn   <- 10:2000                 # sample sizes
pow  <- 1-pbinom(cc-1, nn, p1)  # corresponding power
tStr <- expression(paste("Power for ", X>0, " given ", p[1]==0.001))
plot(nn, pow, type="l", xaxs="i", xlab="sample size", ylab="power",
     lwd=2, col="blue", main=tStr, cex.lab=1.4, cex.main=1.4)

少なくとも事前に指定された検出力を達成するために必要なサンプルサイズを知りたい場合は、上記で計算された検出力値を使用できます。少なくともパワーが必要だとします。$0.5$

> powMin <- 0.5
> idx    <- which.min(abs(pow-powMin))  # index for value closest to 0.5
> nn[idx]     # sample size for that index
[1] 693

> pow[idx]    # power for that sample size
[1] 0.5000998

したがって、累乗を達成するには、少なくともサンプルサイズが必要です。$693$$0.5$

pwrR のパッケージでこの質問に簡単に答えることができます。

有意水準、検出力、効果サイズを定義する必要があります。通常、有意水準は0.05に設定され、検出力は0.8に設定されます。より高い電力はより多くの観察を必要とします。有意水準が低いと、消費電力が減少します。

このパッケージで使用されるプロポーションのエフェクトサイズは、コーエンのhです。小さなhのカットオフは、多くの場合0.20と見なされます。実際のカットオフはアプリケーションによって異なり、場合によってはそれよりも小さくなることがあります。hが小さいほど、より多くの観測が必要になります。あなたはあなたの代替案がと述べました。とても小さい$p = 0.001$

> ES.h(.001, 0)
[1] 0.0632561

しかし、私たちはまだ先に進むことができます。

 > pwr.p.test(sig.level=0.05, power=.8, h = ES.h(.001, 0), alt="greater", n = NULL)

 proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

          h = 0.0632561
          n = 1545.124
  sig.level = 0.05
      power = 0.8
alternative = greater

これらの値を使用するには、少なくとも1546の観測が必要です。

あなたの特定のケースでは、単純で正確な解決策があります：

特定の帰無仮説下では、成功を観察するべきではありません。したがって、1つの成功を観察するとすぐに、その確認できます。$H_0: p=0$$p\neq0$

代替少なくとも1つの成功を観察するために必要な試行回数は、幾何分布に従います。したがって、最小サンプルサイズを取得して累乗を達成するには、ような最小のkを見つける必要があります$H_1: p=0.001$$1-\beta$

そうで取得するあなたは、少なくとも1610個のサンプルを必要とするパワーを。$p=0.001$$80%$