同じモデル内の2つのパラメーター推定値が大幅に異なる場合、どのようにテストできますか？

私はモデルを持っています

$$y=x^a \times z^b + e$$

ここで、は従属変数、とzは説明変数、aとbはパラメーター、eはエラー項です。aとbのパラメーター推定値とこれらの推定値の共分散行列があります。aとbが大きく異なるかどうかをテストするにはどうすればよいですか？$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

とが異なるという仮説を評価すること 、帰無仮説$a$$b$$a - b = 0$ （という代替案に対して）をテストすることと同等です。$a-b\ne 0$

次の分析では、をとして推定するのが妥当であると仮定しています また、モデルの定式化（多くの場合、合理的なもの）を受け入れます。これは、エラーが加算的であるため（負の観測値を生成する可能性もあるため）、両側の対数を取ることで線形化することを許可しません。$a-b$

$$U = \hat a - \hat b.$$ $y$

の分散は共分散行列で表すことができます$U$$(c_{ij})$のとして$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

場合されている最小二乗推定と、一方は通常、「t検定を、」使用します つまり、 分布は、自由度のスチューデントt分布で近似されます（はデータカウント、は係数の数をカウントします） ）。とにかく、は通常、あらゆるテストの基礎です。たとえば、Zテスト（が大きい場合、または最尤法でフィッティングする場合）を実行したり、ブートストラップしたりできます。$(\hat a, \hat b)$

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ $n-2$$n$$2$$t$$n$

具体的には、t検定のp値は次の式で与えられます。

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

ここで、はスチューデントのt（累積）分布関数です。これは、「テール領域」の表現の1つです。スチューデントt変数（自由度）が検定統計量サイズ以上になる可能性$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

---

より一般的には、数値およびまったく同じアプローチを使用して仮説をテストできます。$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

両面代替案に対して。（これは、「コントラスト」の特殊だが広範囲に及ぶケースを含みます。）推定された分散共分散行列を使用して、の分散を推定し、統計を形成します。$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

上記はおよび$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

---

このアドバイスが正しいことを確認するために、次のRコードを実行して、このモデル（正規分布エラーe）に従ってデータを作成し、それらを近似し、の値を何度も計算しました。チェックは、（想定されるスチューデントのt分布に基づく）の確率プロットが対角線に密接に従うことです。ここに、（非常に小さなデータセット、分布が正規分布から遠いために選択された）およびのサイズシミュレーションのプロットがあります$t$$t$$500$$n=5$$t$$a=b=-1/2.$

この例では、少なくとも手順は美しく機能しています。状況を反映する パラメーター（エラー標準偏差）、およびを使用してシミュレーションを再実行することを検討してください。$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

コードは次のとおりです。

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)